a. Consideramos as duas funções definidas em
e com valores em
:
Decompor
e
numa soma de uma função par e de uma função impar.
b. Seja
uma função definida em
. Provar que as funções
e
definidas em
por :
são respectivamente par e impar.
c. Provar que toda função
definida em
se decompoe na soma de uma função par e de uma função impar.
b. Seja
c. Provar que toda função
Passo 1
O enunciado pede para decompor as funções P(x)=x³−x²+4x+5 e Q(x)=x−(sin(x))²−3 na soma de uma parte par e uma parte ímpar, provar que para uma função genérica f(x) as definições φ(x)=(f(x)+f(−x))/2 e ψ(x)=(f(x)−f(−x))/2 geram, respectivamente, uma função par e uma ímpar, e então mostrar que toda f pode ser escrita como f=φ+ψ.
Passo 2
Para decompor P, usamos as fórmulas φ_P(x)=\frac{P(x)+P(−x)}{2} e ψ_P(x)=\frac{P(x)−P(−x)}{2}. Calculamos aí P(−x)=−x³−x²−4x+5. Então
[P(x)+P(−x)] = (x³−x²+4x+5)+(−x³−x²−4x+5) = −2x²+10
[P(x)−P(−x)] = (x³−x²+4x+5)−(−x³−x²−4x+5) = 2x³+8x
Daí
φ_P(x)=\frac{−2x²+10}{2}=−x²+5
ψ_P(x)=\frac{2x³+8x}{2}=x³+4x
[P(x)+P(−x)] = (x³−x²+4x+5)+(−x³−x²−4x+5) = −2x²+10
[P(x)−P(−x)] = (x³−x²+4x+5)−(−x³−x²−4x+5) = 2x³+8x
Daí
φ_P(x)=\frac{−2x²+10}{2}=−x²+5
ψ_P(x)=\frac{2x³+8x}{2}=x³+4x
Passo 3
Para Q fazemos igual: φ_Q(x)=\frac{Q(x)+Q(−x)}{2}, ψ_Q(x)=\frac{Q(x)−Q(−x)}{2}. Note que Q(−x)=−x−sin²(x)−3. Logo
[Q(x)+Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)+(−x−sin²(x)−3) = −2sin²(x)−6
[Q(x)−Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)−(−x−sin²(x)−3) = 2x
Isto dá
φ_Q(x)=\frac{−2\sin²(x)−6}{2}=−\sin²(x)−3
ψ_Q(x)=\frac{2x}{2}=x
[Q(x)+Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)+(−x−sin²(x)−3) = −2sin²(x)−6
[Q(x)−Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)−(−x−sin²(x)−3) = 2x
Isto dá
φ_Q(x)=\frac{−2\sin²(x)−6}{2}=−\sin²(x)−3
ψ_Q(x)=\frac{2x}{2}=x
Passo 4
Para mostrar que φ(x)=(f(x)+f(−x))/2 é par, basta ver que
φ(−x)=\frac{f(−x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(−x)}{2}=φ(x).
φ(−x)=\frac{f(−x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(−x)}{2}=φ(x).
Passo 5
Para ψ(x)=(f(x)−f(−x))/2 ser ímpar, checamos
ψ(−x)=\frac{f(−x)−f(x)}{2}=−\frac{f(x)−f(−x)}{2}=−ψ(x).
ψ(−x)=\frac{f(−x)−f(x)}{2}=−\frac{f(x)−f(−x)}{2}=−ψ(x).
Passo 6
Finalmente, somando φ e ψ temos
φ(x)+ψ(x)=\frac{f(x)+f(−x)}{2}+\frac{f(x)−f(−x)}{2}=f(x),
o que mostra que qualquer f se escreve exatamente como a soma de uma parte par e uma parte ímpar.
φ(x)+ψ(x)=\frac{f(x)+f(−x)}{2}+\frac{f(x)−f(−x)}{2}=f(x),
o que mostra que qualquer f se escreve exatamente como a soma de uma parte par e uma parte ímpar.
Resposta
a) P(x)= (−x²+5)+(x³+4x), Q(x)= (−\sin²(x)−3)+x
b) φ(x) é par e ψ(x) é ímpar conforme φ(−x)=φ(x) e ψ(−x)=−ψ(x)
c) Toda função f se decompõe em f(x)=φ(x)+ψ(x), parte par mais parte ímpar
b) φ(x) é par e ψ(x) é ímpar conforme φ(−x)=φ(x) e ψ(−x)=−ψ(x)
c) Toda função f se decompõe em f(x)=φ(x)+ψ(x), parte par mais parte ímpar