a. Consideramos as duas funções definidas em R e com valores em R :
P: x mapsto x^3-x^2+4 x+5 e Q: x mapsto x-(sin (x))^2-3
Decompor P e Q numa soma de uma função par e de uma função impar.
b. Seja f uma função definida em R. Provar que as funções phi e psi definidas em R por :
forall x in R, phi(x)=f(x)+f(-x)2 e psi(x)=f(x)-f(-x)2
são respectivamente par e impar.
c. Provar que toda função f definida em R se decompoe na soma de uma função par e de uma função impar.

Passo 1

O enunciado pede para decompor as funções P(x)=x³−x²+4x+5 e Q(x)=x−(sin(x))²−3 na soma de uma parte par e uma parte ímpar, provar que para uma função genérica f(x) as definições φ(x)=(f(x)+f(−x))/2 e ψ(x)=(f(x)−f(−x))/2 geram, respectivamente, uma função par e uma ímpar, e então mostrar que toda f pode ser escrita como f=φ+ψ.

Passo 2

Para decompor P, usamos as fórmulas φ_P(x)=\frac{P(x)+P(−x)}{2} e ψ_P(x)=\frac{P(x)−P(−x)}{2}. Calculamos aí P(−x)=−x³−x²−4x+5. Então
[P(x)+P(−x)] = (x³−x²+4x+5)+(−x³−x²−4x+5) = −2x²+10
[P(x)−P(−x)] = (x³−x²+4x+5)−(−x³−x²−4x+5) = 2x³+8x
Daí
φ_P(x)=\frac{−2x²+10}{2}=−x²+5
ψ_P(x)=\frac{2x³+8x}{2}=x³+4x

Passo 3

Para Q fazemos igual: φ_Q(x)=\frac{Q(x)+Q(−x)}{2}, ψ_Q(x)=\frac{Q(x)−Q(−x)}{2}. Note que Q(−x)=−x−sin²(x)−3. Logo
[Q(x)+Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)+(−x−sin²(x)−3) = −2sin²(x)−6
[Q(x)−Q(−x)] = (x−sin²(x)−3)−(−x−sin²(x)−3) = 2x
Isto dá
φ_Q(x)=\frac{−2\sin²(x)−6}{2}=−\sin²(x)−3
ψ_Q(x)=\frac{2x}{2}=x

Passo 4

Para mostrar que φ(x)=(f(x)+f(−x))/2 é par, basta ver que
φ(−x)=\frac{f(−x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(−x)}{2}=φ(x).

Passo 5

Para ψ(x)=(f(x)−f(−x))/2 ser ímpar, checamos
ψ(−x)=\frac{f(−x)−f(x)}{2}=−\frac{f(x)−f(−x)}{2}=−ψ(x).

Passo 6

Finalmente, somando φ e ψ temos
φ(x)+ψ(x)=\frac{f(x)+f(−x)}{2}+\frac{f(x)−f(−x)}{2}=f(x),
o que mostra que qualquer f se escreve exatamente como a soma de uma parte par e uma parte ímpar.

Resposta

a) P(x)= (−x²+5)+(x³+4x), Q(x)= (−\sin²(x)−3)+x
b) φ(x) é par e ψ(x) é ímpar conforme φ(−x)=φ(x) e ψ(−x)=−ψ(x)
c) Toda função f se decompõe em f(x)=φ(x)+ψ(x), parte par mais parte ímpar

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