Determine a integral integral duplaR e^x^2+y^2 d A, onde R é região delimitada pelos círculos x^2+y^2= 1 e x^2+y^2=9 e converta para coordenadas polares e resolva-as

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^x^2+y^2,dA sobre a região em forma de anel entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9, usando coordenadas polares. Vamos precisar conhecer a troca para coordenadas polares e o fator de Jacobiano.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares, fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Além disso, a região R vira 1<= r<= 3 e 0<=theta<=2pi. Assim montamos a integral
integral duplaR e^x^2+y^2,dA = integral0^2piintegral1^3 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para integrar em r, observamos que se tomarmos u=r^2 então du=2r,dr, ou seja r,dr=tfrac12,du. Substituindo:
integral1^3 e^r^2,r,dr = integralr=1^r=3 e^u,tfrac12,du = tfrac12l[e^ur]u=1^u=9 = tfrac12l(e^9-e^1r)

Passo 4

Agora a integral completa fica
integral0^2pi tfrac12l(e^9-er),dtheta = tfrac12l(e^9-er)cdot l[thetar]0^2pi = tfrac12l(e^9-er)cdot 2pi = pi,(e^9-e)

Resposta

pi,(e^9-e)

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