Calcule:
integral0^1 integral-x^x^2(y^2 x) d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral dupla iterada
I = integral0^1 !!integral-x^x^2 l(y^2,xr),dy,dx
Isso é conteúdo de Cálculo Integral, mais precisamente integrais duplas iteradas.
O que a gente vai precisar:
  • Entender que na integral interna, x é constante em relação a y.
  • Saber usar a regra da potência para encontrar antiderivadas de polinômio:
    integral y^n,dy = tfracy^n+1n+1.

Passo 2

Vamos fazer primeiro a integral em y:
I1(x) = integral-x^,x^2 x,y^2 ,dy
Como x é constante, fatoramos x pra fora:
I1(x) = x integral-x^,x^2 y^2 ,dy
A antiderivada de y^2 é tfracy^33. Então
I1(x) = x ,l[tfracy^33r]y=-x^y=x^2 = x ,13l((x^2)^3 - (-x)^3r)
Calculemos os termos:
(x^2)^3 = x^6 e (-x)^3 = -x^3.
Então
I1(x) = x3l(x^6 - (-x^3)r) = x3l(x^6 + x^3r) = x^7 + x^43

Passo 3

Agora sobra a integral em x:
I = integral0^1 x^7 + x^43,dx = 13integral0^1(x^7 + x^4),dx
Usando a regra da potência de novo:
integral x^7,dx = x^88, integral x^4,dx = x^55
Logo
I = 13l[x^88 + x^55r]0^1 = 13l(18 + 15r)
Somando as frações:
18 + 15 = 5 + 840 = 1340
Então
I = 13cdot1340 = 13120

Resposta

13120

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