Calcule:
integral2^4 integral1^3(40-2 x y) d x d y

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral dupla
integral2^4!!integral1^3(40 - 2xy),dx,dy
Isso é parte de Cálculo Multivariável, mais especificamente Integrais Duplas. Vamos usar o método de integração iterada: primeiro integramos em x (tratando y como constante), depois em y. Também vamos usar propriedades básicas, tipo linearidade da integral e as fórmulas
integral a,dx = a,x e integral x,dx = tfracx^22.

Passo 2

Integramos em x de 1 a 3:
integral1^3(40 - 2xy),dx = integral1^340,dx ;-; integral1^32xy,dx
Como y é constante nessa etapa, dá:
integral1^340,dx = 40l[xr]1^3 = 40(3-1) = 80,
integral1^32xy,dx = 2yintegral1^3x,dx = 2yl[tfracx^22r]1^3 = 2yl(tfrac92-tfrac12r) = 2ycdot 4 = 8y
Logo a integral interna vira
80 - 8y

Passo 3

Agora integramos em y de 2 a 4:
integral2^4(80 - 8y),dy = integral2^480,dy ;-; 8integral2^4y,dy
Calculando cada parte:
integral2^480,dy = 80l[yr]2^4 = 80(4-2) = 160,
integral2^4y,dy = l[tfracy^22r]2^4 = tfrac162-tfrac42 = 8-2 = 6,
então
8integral2^4y,dy = 8cdot 6 = 48
Subtraindo dá
160 - 48 = 112

Resposta

112

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