Problema 1.6:
1.6 Dados os vetores
& A=alpha ax+ay+4 az & B=3 ax+beta ay-6 az & C=5 ax-2 ay+gamma az
determine alpha, beta e gamma, tais que os vetores sejam mutuamente ortogonais.

Passo 1

Então, resumindo rapidinho: o exercício nos dá
A = alpha,ax + ay + 4,az, B = 3,ax + beta,ay - 6,az, C = 5,ax - 2,ay + gamma,az
e pede α, β e γ para que A, B e C fiquem mutuamente ortogonais. Isso é produto escalar em ℝ³ e ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles dá zero. Vamos montar as equações A·B=0, A·C=0 e B·C=0.

Passo 2

Calma, sem pular etapas:
Produto escalar A·B:
AcdotB = (alpha)(3) + (1)(beta) + (4)(-6) = 3alpha + beta - 24
Como A⟂B, exigimos
3alpha + beta - 24 = 0 Longrightarrow beta = 24 - 3alpha

Passo 3

Agora A·C=0:
AcdotC = (alpha)(5) + (1)(-2) + (4)(gamma) = 5alpha - 2 + 4gamma = 0 Longrightarrow 4gamma = 2 - 5alpha Longrightarrow gamma = 2 - 5alpha4

Passo 4

Falta B·C=0:
BcdotC = (3)(5) + (beta)(-2) + (-6)(gamma) = 15 - 2beta - 6gamma = 0
Aí a gente substitui as expressões de β e γ que já achamos.

Passo 5

Substituindo
beta = 24 - 3alpha e gamma = tfrac2 - 5alpha4 em
15 - 2beta - 6gamma = 0:
15 - 2(24 - 3alpha) - 6l(2 - 5alpha4r) = 0
Desenvolvendo:
15 - 48 + 6alpha - 6(2 - 5alpha)4 = 0 Longrightarrow -33 + 6alpha - 3(2 - 5alpha)2 = 0
Multiplica por 2:
-66 + 12alpha - (6 - 15alpha) = 0 ;Longrightarrow; 27alpha - 72 = 0 ;Longrightarrow; alpha = 7227 = 83

Passo 6

Só falta β e γ:
beta = 24 - 3!l(tfrac83r) = 24 - 8 = 16, gamma = 2 - 5(tfrac83)4 = 2 - tfrac4034 = -tfrac3434 = -tfrac3412 = -tfrac176

Resposta

alpha = tfrac83, beta = 16, gamma = -tfrac176

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