Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla . Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 2. Isso forma uma área triangular onde a linha cruza o limite superior .
Passo 3
Agora, para simplificar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até (pois implica ).
Então, a integral muda para:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna com relação a . Como não depende de , a integração é direta:
Agora, nossa integral ficou:
Passo 5
Para resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , usamos a técnica de substituição. Vamos definir:
integral e^u , du = e^u + C
Isso simplifica a integral para:
e^x^2 + C
Voltando à variável original:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2: