Calcule integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla . Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 2. Isso forma uma área triangular onde a linha cruza o limite superior .

Passo 3

Agora, para simplificar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a integral0^2 integral0^x2 4 e^x^2 , dy , dx e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (pois implica ).
Então, a integral muda para:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna com relação a integral0^x2 4 e^x^2 , dy = 4 e^x^2 cdot y |0^x2 = 4 e^x^2 cdot x2 = 2x e^x^2 . Como integral0^2 2x e^x^2 , dx não depende de , a integração é direta:
Agora, nossa integral ficou:

Passo 5

Para resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , usamos a técnica de substituição. Vamos definir:
integral e^u , du = e^u + C
Isso simplifica a integral para:
e^x^2 + C
Voltando à variável original:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
integral0^2 2x e^x^2 , dx = e^x^2 |0^2 = e^4 - e^0 = e^4 - 1

Resposta

O valor da integral é .

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