Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar a região onde a gente vai integrar e depois trocar a ordem das integrais na expressão integral0^1 integralx^3 x f(x, y) , dy , dx. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como mudar os limites de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano XY e então ajustar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites atuais de integração. A integral externa é de x = 0 até x = 1. Para cada valor de x, a integral interna vai de y = x até y = 3x. Isso significa que, para cada x nesse intervalo, y varia de uma linha diagonal y = x até outra linha diagonal y = 3x.

Passo 3

Agora, vamos desenhar essa região no plano XY. No eixo x, vamos de 0 a 1. A linha y = x começa na origem (0,0) e sobe até (1,1). Já a linha y = 3x também começa na origem, mas sobe mais rápido, chegando em (1,3). Assim, a região de integração está entre essas duas linhas, de x = 0 a x = 1.

Passo 4

Para inverter a ordem das integrais, precisamos expressar os limites de x em função de y. Observando a região que desenhamos, para um valor fixo de y, x vai de y/3 (obtido de y = 3x rearranjado para x = y/3) até x = y (obtido de y = x rearranjado para x = y).

Passo 5

Além disso, precisamos determinar os novos limites para y. Olhando a região, o menor valor de y é 0 (na origem) e o maior valor é 3 (no ponto onde x = 1 e y = 3). Então, y vai de 0 até 3.

Passo 6

Com esses novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica assim:
integral0^3 integraly3^y f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem das integrais invertida é integral0^3 integraly3^y f(x, y) , dx , dy.

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