Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar a região onde a gente vai integrar e depois trocar a ordem das integrais na expressão
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como mudar os limites de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano XY e então ajustar os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites atuais de integração. A integral externa é de
até
. Para cada valor de
, a integral interna vai de
até
. Isso significa que, para cada
nesse intervalo,
varia de uma linha diagonal
até outra linha diagonal
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região no plano XY. No eixo
, vamos de 0 a 1. A linha
começa na origem (0,0) e sobe até (1,1). Já a linha
também começa na origem, mas sobe mais rápido, chegando em (1,3). Assim, a região de integração está entre essas duas linhas, de
a
.
Passo 4
Para inverter a ordem das integrais, precisamos expressar os limites de
em função de
. Observando a região que desenhamos, para um valor fixo de
,
vai de
(obtido de
rearranjado para
) até
(obtido de
rearranjado para
).
Passo 5
Além disso, precisamos determinar os novos limites para
. Olhando a região, o menor valor de
é 0 (na origem) e o maior valor é 3 (no ponto onde
e
). Então,
vai de 0 até 3.
Passo 6
Com esses novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica assim:
Resposta
A ordem das integrais invertida é
.