Calcule:
integral0^2 integralx^2^2 x(x^3+4 y) d y d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla, que basicamente calcula o volume de uma superfície definida por uma função em uma determinada região do plano. O enunciado nos dá os limites de integração: para de 0 a 2 e para de a . Vamos precisar entender como integrar em duas etapas, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a integral (x^3 + 4y) , dy = x^3 y + 2y^2 . A função que estamos integrando é . Integrar em relação a significa encontrar a antiderivada dessa função com respeito a .
A integral de em relação a é simplesmente , porque é tratado como uma constante quando integramos em relação a . A integral de em relação a é , já que .
Então, a antiderivada é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração para x^3 (2x) + 2(2x)^2 = 2x^4 + 2(4x^2) = 2x^4 + 8x^2 , que vão de x^3 (x^2) + 2(x^2)^2 = x^5 + 2x^4 a (2x^4 + 8x^2) - (x^5 + 2x^4) = -x^5 + 0x^4 + 8x^2 = -x^5 + 8x^2 . Isso significa que precisamos substituir por e depois por na antiderivada que encontramos, e então subtrair os resultados.
Primeiro, substituindo :
Depois, substituindo :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, restou ficar com uma integral em relação a -x^66 + 8x^33 de de 0 a 2. Vamos calcular essa integral.
A antiderivada de é e a antiderivada de é . Então, a antiderivada completa é:

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração para -(2)^66 + 8(2)^33 = -646 + 643 = -323 + 643 = 323 , que vão de 0 a 2. Substituímos -0^66 + 8 cdot 0^33 = 0 + 0 = 0 na antiderivada e depois 323 - 0 = 323 , e subtraímos os resultados.
Substituindo :
Substituindo :
Subtraindo:

Resposta

integral0^2 integralx^2^2 x(x^3+4 y) d y d x = 323

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