Calcule:
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla, que basicamente calcula o volume de uma superfície definida por uma função em uma determinada região do plano. O enunciado nos dá os limites de integração: para
de 0 a 2 e para
de
a
. Vamos precisar entender como integrar em duas etapas, primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a
. A função que estamos integrando é
. Integrar em relação a
significa encontrar a antiderivada dessa função com respeito a
.
A integral de
em relação a
é simplesmente
, porque
é tratado como uma constante quando integramos em relação a
. A integral de
em relação a
é
, já que
.
Então, a antiderivada é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de integração para
, que vão de
a
. Isso significa que precisamos substituir
por
e depois por
na antiderivada que encontramos, e então subtrair os resultados.
Primeiro, substituindo
:
Depois, substituindo
:
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, restou ficar com uma integral em relação a
de
de 0 a 2. Vamos calcular essa integral.
A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
. Então, a antiderivada completa é:
Passo 5
Finalmente, aplicamos os limites de integração para
, que vão de 0 a 2. Substituímos
na antiderivada e depois
, e subtraímos os resultados.
Substituindo
:
Substituindo
:
Subtraindo: