Calcule integral0^2 integraly^3^8 e^xraiz[3]x d x d y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^2 integraly^3^8 e^xraiz[3]x , dx , dy
Estamos lidando com cálculo integral aplicado a múltiplas integrais. Para resolver isso, vamos precisar analisar a região de integração e possivelmente trocar a ordem das integrais para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos analisar os limites de integração. Na integral interna, 0 <= y <= 2 e y^3 <= x <= 8 varia de a 8, e na externa, varia de 0 a 2.
Isso significa que estamos integrando sobre a região onde:

Passo 3

Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Primeiro, determinamos os novos limites:
  • integral0^8 integral0^raiz[3]x e^xraiz[3]x , dy , dx varia de 0 a 8.
  • Para cada , varia de 0 a (pois ).
Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a integral0^raiz[3]x e^xraiz[3]x , dy = e^xraiz[3]x cdot raiz[3]x = e^x . Note que não depende de , então a integração é direta:

Passo 5

A integral dupla agora se simplifica para uma integral simples em integral0^8 e^x , dx :
integral0^8 e^x , dx = e^8 - e^0 = e^8 - 1
A integral de é , então calculamos:

Resposta

O valor da integral é .

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