Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla:
Estamos lidando com cálculo integral aplicado a múltiplas integrais. Para resolver isso, vamos precisar analisar a região de integração e possivelmente trocar a ordem das integrais para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos analisar os limites de integração. Na integral interna,
varia de
a 8, e na externa,
varia de 0 a 2.
Isso significa que estamos integrando sobre a região onde:
Passo 3
Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Primeiro, determinamos os novos limites:
-
varia de 0 a 8. - Para cada
, varia de 0 a (pois ).
Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
. Note que
não depende de
, então a integração é direta:
Passo 5
A integral dupla agora se simplifica para uma integral simples em
:
A integral de
é
, então calculamos:
Resposta
O valor da integral é
.