Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, então vamos precisar entender como cada parte da função se comporta perto desse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Temos
e
. Para encontrar o limite, vamos calcular o limite de cada uma dessas partes quando
se aproxima de
e
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos começar com
. Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos, então:
Isso é direto porque substituímos o valor de
na expressão.
Passo 4
Agora, vamos para
. A função tangente tem pontos de descontinuidade quando seu argumento é um múltiplo ímpar de
. Entretanto, estamos aproximando de
, que não é um desses pontos problemáticos. Então, a tangente também é contínua nesse ponto:
E sabemos que
.
Passo 5
Agora, podemos combinar os limites das duas funções. Como:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O limite é igual a
.