Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, x) (pi, e, 1) e^y^2 tg(x z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, então vamos precisar entender como cada parte da função se comporta perto desse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Temos e . Para encontrar o limite, vamos calcular o limite de cada uma dessas partes quando se aproxima de e se aproxima de .

Passo 3

Vamos começar com limy to e e^y^2 = e^e^2 . Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos, então:
Isso é direto porque substituímos o valor de na expressão.

Passo 4

Agora, vamos para lim(x, z) to (pi, 1) tan(x z) = tan(pi times 1) = tan(pi) . A função tangente tem pontos de descontinuidade quando seu argumento é um múltiplo ímpar de . Entretanto, estamos aproximando de , que não é um desses pontos problemáticos. Então, a tangente também é contínua nesse ponto:
E sabemos que .

Passo 5

Agora, podemos combinar os limites das duas funções. Como:
lim(x, y, z) to (pi, e, 1) e^y^2 tan(x z) = ( limy to e e^y^2 ) times ( lim(x, z) to (pi, 1) tan(x z) )
Substituindo os valores que encontramos:
e^e^2 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados