Calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
Dessa forma, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
. Substituindo na integral original, temos:
Aqui, mudamos os limites de integração de
para
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 3
Agora, a integral ficou:
Essa é uma integral padrão que envolve a raiz quadrada de uma expressão quadrática. Sabemos que:
Onde
no nosso caso.
Passo 4
Aplicando a fórmula acima na nossa integral, temos:
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 1 a 3.
Passo 5
Primeiro, avaliamos no limite superior
:
Agora, avaliamos no limite inferior
:
Resposta
Subtraindo os valores obtidos nos limites, a integral vale: