Calcule: integral0^ln 3 e^t raiz9-e 2 t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
integral0^ln 3 e^t raiz9 - e^2t , dt
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
u = e^t
Dessa forma, a derivada de du = e^t , dt em relação a integralu=1^3 raiz9 - u^2 , du é:
Isso significa que . Substituindo na integral original, temos:
Aqui, mudamos os limites de integração de para . Quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, a integral ficou:
integral1^3 raiz9 - u^2 , du
Essa é uma integral padrão que envolve a raiz quadrada de uma expressão quadrática. Sabemos que:
integral raiza^2 - u^2 , du = u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin(ua) + C
Onde no nosso caso.

Passo 4

Aplicando a fórmula acima na nossa integral, temos:
u2 raiz9 - u^2 + 92 arcsin(u3)
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 1 a 3.

Passo 5

Primeiro, avaliamos no limite superior 32 raiz9 - 9 + 92 arcsin(33) = 32 times 0 + 92 times pi2 = 9pi4 :
12 raiz9 - 1 + 92 arcsin(13) = 12 times 2raiz2 + 92 arcsin(13) = raiz2 + 92 arcsin(13)
Agora, avaliamos no limite inferior :

Resposta

Subtraindo os valores obtidos nos limites, a integral vale:
9pi4 - raiz2 - 92 arcsin(13)

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