Calcule: integral0^pi 3^x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 até . Este problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão e .

Passo 3

Vamos definir du = ddx 3^x dx = 3^x ln(3) dx e v = integral cos(x) dx = sin(x) . Com isso, precisamos calcular e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral 3^x cos(x) dx = u cdot v - integral v cdot du
= 3^x sin(x) - integral sin(x) cdot 3^x ln(3) dx

Passo 5

Notamos que a integral que surgiu agora é similar à original, mas com um sinal e um fator a mais:
integral 3^x sin(x) ln(3) dx
Vamos chamar essa integral de I = integral 3^x sin(x) dx :
integral 3^x cos(x) dx = 3^x sin(x) - ln(3) I
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Agora, precisamos calcular u = 3^x e dv = sin(x) dx . Para isso, vamos aplicar novamente a integração por partes, desta vez com:
du = 3^x ln(3) dx
Calculando v = -cos(x) :
Calculando :

Passo 7

Aplicando a fórmula da integração por partes para I = u cdot v - integral v cdot du :
= -3^x cos(x) + integral cos(x) cdot 3^x ln(3) dx
J = integral 3^x cos(x) dx
Observamos que a integral resultante é novamente nossa integral original I = -3^x cos(x) + ln(3) J , que já chamamos de algo. Vamos chamar essa integral de :
Então, temos:

Passo 8

Voltando à nossa primeira expressão:
J = 3^x sin(x) - ln(3) I
Substituímos J = 3^x sin(x) - ln(3) (-3^x cos(x) + ln(3) J) pela expressão que encontramos:
J = 3^x sin(x) + ln(3) 3^x cos(x) - (ln(3))^2 J

Passo 9

Agora, vamos isolar J + (ln(3))^2 J = 3^x sin(x) + ln(3) 3^x cos(x) :
J (1 + (ln(3))^2) = 3^x (sin(x) + ln(3) cos(x))
J = 3^x (sin(x) + ln(3) cos(x))1 + (ln(3))^2

Passo 10

Agora que encontramos integral0^pi 3^x cos(x) dx = [ 3^x (sin(x) + ln(3) cos(x))1 + (ln(3))^2 ]0^pi , que é a nossa integral indefinida, precisamos calcular a integral definida de 0 até :

Passo 11

Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para 3^pi (sin(pi) + ln(3) cos(pi))1 + (ln(3))^2 = 3^pi (0 + ln(3)(-1))1 + (ln(3))^2 = -3^pi ln(3)1 + (ln(3))^2 :
3^0 (sin(0) + ln(3) cos(0))1 + (ln(3))^2 = 1 (0 + ln(3)(1))1 + (ln(3))^2 = ln(3)1 + (ln(3))^2
Para :

Passo 12

Subtraindo os valores:
integral0^pi 3^x cos(x) dx = ( -3^pi ln(3)1 + (ln(3))^2 ) - ( ln(3)1 + (ln(3))^2 )
= -3^pi ln(3) - ln(3)1 + (ln(3))^2
= -ln(3) (3^pi + 1)1 + (ln(3))^2

Resposta

O valor da integral definida é:
integral0^pi 3^x cos(x) dx = -ln(3) (3^pi + 1)1 + (ln(3))^2

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