Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 até
. Este problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando
serão
e
.
Passo 3
Vamos definir
e
. Com isso, precisamos calcular
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Notamos que a integral que surgiu agora é similar à original, mas com um sinal e um fator a mais:
Vamos chamar essa integral de
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Para isso, vamos aplicar novamente a integração por partes, desta vez com:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 7
Aplicando a fórmula da integração por partes para
:
Observamos que a integral resultante é novamente nossa integral original
, que já chamamos de algo. Vamos chamar essa integral de
:
Então, temos:
Passo 8
Voltando à nossa primeira expressão:
Substituímos
pela expressão que encontramos:
Passo 9
Agora, vamos isolar
:
Passo 10
Agora que encontramos
, que é a nossa integral indefinida, precisamos calcular a integral definida de 0 até
:
Passo 11
Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral definida é: