Calcule:
integral0^pi^2 cos raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi^2cosraizx,dx. O conteúdo envolve duas técnicas: substituição de variável (para eliminar a raiz) e integração por partes (para resolver o produto resultante).

Passo 2

Definimos u = raizx, então x = u^2 e dx = 2u,du. Quando x vai de 0 a pi^2, u vai de 0 a pi. Assim,
integral0^pi^2cosraizx,dx = integral0^picos u,(2u),du = 2integral0^piucos u,du

Passo 3

Para calcular integral0^piucos u,du, usamos integração por partes. Escolhemos f = u, df = du, dg = cos u,du e g = sin u. Logo,
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Avaliando de 0 a pi e lembrando do fator 2, temos
2l[usin u + cos ur]0^pi =2l(pisinpi + cospi - (0cdotsin0 + cos0)r) =2l(0 -1 -1r) =2cdot(-2) =-4

Resposta

-4

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