Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\log (\operatorname{sen}(2 x)) \sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=logl(sen(2x)r),raizx^2+1
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para funções logaritmo, seno e raiz quadrada.

Passo 2

Vamos decompor em
u(x)=logl(sen(2x)r), v(x)=raizx^2+1
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Derivando u(x) por cadeia:
u'(x) =ddxl[logl(sen(2x)r)r] =1sen(2x);ddxl[sen(2x)r]

Passo 4

Derivada de sen(2x) por cadeia:
ddxl[sen(2x)r] =cos(2x)cdot 2 =2cos(2x)
Logo,
u'(x)=2cos(2x)sen(2x) =2cot(2x)

Passo 5

Derivando v(x)=(x^2+1)^1/2 por cadeia:
v'(x) =12(x^2+1)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+1

Passo 6

Substituindo u'(x), v(x), u(x) e v'(x) na regra do produto:
f'(x) =2cot(2x),raizx^2+1 +logl(sen(2x)r),xraizx^2+1

Resposta

f'(x) =2cot(2x)raizx^2+1 +x,logl(sen(2x)r)raizx^2+1

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