Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Calcule o espaço percorrido entre os instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo do eixo $ Ox $ com uma velocidade dada por $ V(t) = t^{2} + t - 3 $, no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 4 $. Aqui, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre movimento retilíneo e integração para encontrar o espaço percorrido.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o espaço percorrido por uma partícula ao longo do tempo pode ser obtido integrando o valor absoluto da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para o espaço $ S $ é:
Onde:
- $ V(t) $ é a velocidade em função do tempo.
- $ t_0 $ e $ t_f $ são os instantes inicial e final, respectivamente.
- O valor absoluto é importante porque estamos interessados na distância total percorrida, independente da direção.
Passo 3
Vamos analisar a função velocidade $ V(t) = t^{2} + t - 3 $. Para saber onde a velocidade muda de sinal (isto é, onde a partícula muda de direção), precisamos encontrar os valores de $ t $ onde $ V(t) = 0 $:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -3 $:
Como estamos considerando $ t \geq 0 $, descartamos a solução negativa:
Então, a velocidade muda de sinal em $ t \approx 1,303 $.
Passo 4
Sabemos que o valor absoluto da velocidade será diferente antes e depois de $ t \approx 1,303 $. Vamos dividir a integral em dois intervalos:
- De $ t = 0 $ até $ t \approx 1,303 $, onde $ V(t) < 0 $, então $ |V(t)| = -(t^{2} + t - 3) $.
- De $ t \approx 1,303 $ até $ t = 4 $, onde $ V(t) > 0 $, então $ |V(t)| = t^{2} + t - 3 $.
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Calculando em $ t = 1,303 $:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:
Calculando em $ t = 4 $ e $ t = 1,303 $:
Em $ t = 4 $:
Em $ t = 1,303 $:
Portanto:
Resposta
O espaço total percorrido pela partícula entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos é aproximadamente 21,04 unidades de espaço.