Uma partícula desloca-se sobre o eixo O x com velocidade V(t)=t^2+t-3, t >= 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo do eixo $ Ox $ com uma velocidade dada por $ V(t) = t^{2} + t - 3 $, no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 4 $. Aqui, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre movimento retilíneo e integração para encontrar o espaço percorrido.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o espaço percorrido por uma partícula ao longo do tempo pode ser obtido integrando o valor absoluto da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para o espaço $ S $ é:
S
Onde:
  • $ V(t) $ é a velocidade em função do tempo.
  • $ t_0 $ e $ t_f $ são os instantes inicial e final, respectivamente.
  • O valor absoluto é importante porque estamos interessados na distância total percorrida, independente da direção.

Passo 3

Vamos analisar a função velocidade $ V(t) = t^{2} + t - 3 $. Para saber onde a velocidade muda de sinal (isto é, onde a partícula muda de direção), precisamos encontrar os valores de $ t $ onde $ V(t) = 0 $:
V(t) = t^2 + t - 3
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -3 $:
V(t) = 0
Como estamos considerando $ t \geq 0 $, descartamos a solução negativa:
t^2 + t - 3 = 0
Então, a velocidade muda de sinal em $ t \approx 1,303 $.

Passo 4

Sabemos que o valor absoluto da velocidade será diferente antes e depois de $ t \approx 1,303 $. Vamos dividir a integral em dois intervalos:
  1. De $ t = 0 $ até $ t \approx 1,303 $, onde $ V(t) < 0 $, então $ |V(t)| = -(t^{2} + t - 3) $.
  2. De $ t \approx 1,303 $ até $ t = 4 $, onde $ V(t) > 0 $, então $ |V(t)| = t^{2} + t - 3 $.

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
S1 = integral0^1,303 -(t^2 + t - 3) , dt = integral0^1,303 (-t^2 - t + 3) , dt
Integrando termo a termo:
S1 = [-t^33 - t^22 + 3t ]0^1,303
Calculando em $ t = 1,303 $:
t = 1,303
Segunda integral:
S1 = -(1,303)^33 - (1,303)^22 + 3 times 1,303 approx -2,2063 - 1,6372 + 3,909 approx -0,735 - 0,8185 + 3,909 approx 2,355
Integrando termo a termo:
S2 = integral1,303^4 (t^2 + t - 3) , dt
Calculando em $ t = 4 $ e $ t = 1,303 $:
Em $ t = 4 $:
S2 = [t^33 + t^22 - 3t ]1,303^4
Em $ t = 1,303 $:
t = 4
Portanto:
t = 1,303

Resposta

O espaço total percorrido pela partícula entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos é aproximadamente 21,04 unidades de espaço.

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