Calcule:
integral0^pi6 cos (z) sen^5(z) d z.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral
integral0^pi6 cos(z),sin^5(z),dz
Isso envolve conteúdo de integrais de funções trigonométricas e vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar.

Passo 2

Para aplicar substituição, definimos
u = sin(z)
Logo,
du = cos(z),dz
Com isso, o integrando cos(z),sin^5(z),dz vira u^5,du.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração:
Quando z = 0, temos u = sin(0) = 0.
Quando z = tfracpi6, temos u = sinl(tfracpi6r) = tfrac12.
Assim a integral fica
integral0^pi6 cos(z),sin^5(z),dz = integral0^tfrac12 u^5,du

Passo 4

Agora integramos uma potência de u. Sabemos que
integral u^5,du = u^66 + C
Como temos limites, avaliamos de 0 a tfrac12.

Passo 5

Substituindo os limites, obtemos
u^66|0^tfrac12 = (tfrac12)^66 - 0^66 = 164cdot16 = 1384

Resposta

1384

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