Qual o tempo necessário para que um depósito bancário triplique de valor considerando que os juros sejam compostos continuamente à taxa de 5,25 % ao ano?

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que um depósito inicial P triplique de valor sob juros compostos continuamente à taxa de 5,25% ao ano. O conteúdo é juros compostos contínuos e vamos usar a fórmula
A = P e^rt,
onde A é o montante, r a taxa anual em forma decimal e t o tempo em anos.

Passo 2

Para triplicar o valor, basta impor A = 3P. Substituindo na fórmula de juros contínuos, temos
3P = P,e^rt
Como P é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por P e obter
3 = e^rt

Passo 3

Tomando o logaritmo natural em ambos os lados da equação 3 = e^rt, vem
ln(3) = rt
Isolando t,
t = ln(3)r

Passo 4

Aqui r = 5,25% ao ano, ou seja r = 0,0525. Logo,
t = ln(3)0,0525
Calculando numericamente, ln(3)approx1,0986123, então
t approx 1,09861230,0525approx20,93

Resposta

O depósito levará aproximadamente 20,93 anos para triplicar de valor sob juros compostos continuamente a 5,25% ao ano.

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