Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial onde precisamos resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e funções como a função de Heaviside
, que basicamente “liga” a função seno a partir de
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar das fórmulas para a Transformada de Laplace das derivadas. Para a segunda derivada:
E para a função
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace da função no lado direito:
. Isso envolve a Transformada de Laplace de uma função multiplicada por um deslocamento no tempo, que é dado pela propriedade de mudança de tempo.
A fórmula é:
Neste caso,
e
.
Passo 5
Calculando a Transformada de Laplace de
:
Primeiro, aplicamos a propriedade mencionada:
Sabemos que
, pois a função seno é periódica com período
. Então:
Portanto:
Passo 6
Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar
:
Passo 7
Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Vamos separar as duas partes:
Para a primeira parte, reconhecemos que:
Com
, temos:
Passo 8
Para a segunda parte,
, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
Aqui,
e
. Precisamos encontrar a Transformada Inversa de
.
Passo 9
Para encontrar
, usamos a técnica de frações parciais.
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, igualamos os coeficientes:
Igualando os termos:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Passo 10
Agora, substituímos os valores de
e
:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Passo 11
Voltando à segunda parte da
:
Simplificando:
Passo 12
Finalmente, somamos as duas partes encontradas para obter
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: