Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y=sen t cdot U(t-2 pi), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial onde precisamos resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação dada é:
y'' + 4y = sin t cdot U(t - 2pi), y(0) = 1, y'(0) = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e funções como a função de Heaviside U(t - 2pi), que basicamente “liga” a função seno a partir de t = 2pi. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Aplicando a Transformada de Laplace:
Ly'' + 4Ly = Lsin t cdot U(t - 2pi)

Passo 3

Agora, precisamos lembrar das fórmulas para a Transformada de Laplace das derivadas. Para a segunda derivada:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E para a função y:
Ly = Y(s)
Substituindo na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + 4Y(s) = Lsin t cdot U(t - 2pi)
Simplificando:
(s^2 + 4) Y(s) - s = Lsin t cdot U(t - 2pi)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace da função no lado direito: sin t cdot U(t - 2pi). Isso envolve a Transformada de Laplace de uma função multiplicada por um deslocamento no tempo, que é dado pela propriedade de mudança de tempo.
A fórmula é:
Lf(t) cdot U(t - a) = e^-a s Lf(t + a)
Neste caso, f(t) = sin t e a = 2pi.

Passo 5

Calculando a Transformada de Laplace de sin t cdot U(t - 2pi):
Primeiro, aplicamos a propriedade mencionada:
Lsin t cdot U(t - 2pi) = e^-2pi s Lsin (t + 2pi)
Sabemos que sin(t + 2pi) = sin t, pois a função seno é periódica com período 2pi. Então:
Lsin(t + 2pi) = Lsin t = 1s^2 + 1
Portanto:
Lsin t cdot U(t - 2pi) = e^-2pi ss^2 + 1

Passo 6

Voltando à nossa equação transformada:
(s^2 + 4) Y(s) - s = e^-2pi ss^2 + 1
Vamos isolar Y(s):
(s^2 + 4) Y(s) = s + e^-2pi ss^2 + 1
Y(s) = ss^2 + 4 + e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4)

Passo 7

Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t). Vamos separar as duas partes:
  1. ss^2 + 4
  2. e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4)
Para a primeira parte, reconhecemos que:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
Com a = 2, temos:
L^-1ss^2 + 4 = cos(2t)

Passo 8

Para a segunda parte, e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4), usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
L^-1e^-a s F(s) = f(t - a) cdot U(t - a)
Aqui, a = 2pi e F(s) = 1(s^2 + 1)(s^2 + 4). Precisamos encontrar a Transformada Inversa de F(s).

Passo 9

Para encontrar L^-11(s^2 + 1)(s^2 + 4), usamos a técnica de frações parciais.
Vamos escrever:
1(s^2 + 1)(s^2 + 4) = As^2 + 1 + Bs^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por (s^2 + 1)(s^2 + 4):
1 = A(s^2 + 4) + B(s^2 + 1)
Para encontrar A e B, igualamos os coeficientes:
1 = (A + B)s^2 + (4A + B)
Igualando os termos:
A + B = 0 (coeficiente de s^2)
4A + B = 1 (termo constante)
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: B = -A
Substituindo na segunda:
4A - A = 1 Rightarrow 3A = 1 Rightarrow A = 13
Então, B = -13

Passo 10

Agora, substituímos os valores de A e B:
1(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 1/3s^2 + 1 - 1/3s^2 + 4
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
L^-11(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 13sin t - 13sin 2t

Passo 11

Voltando à segunda parte da Y(s):
L^-1e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4) = (13sin(t - 2pi) - 13sin(2(t - 2pi))) cdot U(t - 2pi)
Simplificando:
13sin(t - 2pi)U(t - 2pi) - 13sin(2(t - 2pi))U(t - 2pi)

Passo 12

Finalmente, somamos as duas partes encontradas para obter y(t):
y(t) = cos(2t) + 13sin(t - 2pi)U(t - 2pi) - 13sin(2(t - 2pi))U(t - 2pi)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = cos(2t) + 13sin(t - 2pi)U(t - 2pi) - 13sin(2(t - 2pi))U(t - 2pi)

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