Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = raiz(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . Para isso, vamos descobrir algumas coisas importantes: o domínio (os valores de que a função pode assumir), a imagem (os valores que pode resultar), onde a função é zero, os intervalos onde ela é positiva ou negativa, e por último, vamos esboçar o gráfico dela. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de funções radicais e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, , precisa ser maior ou igual a zero. Então, resolvemos a inequação:
Dividindo ambos os lados por 5, que é positivo, não muda o sentido da desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os possíveis valores de . Sabemos que a raiz quadrada sempre resulta em números não negativos. Então, também será maior ou igual a zero. Portanto, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos achar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Assim, temos:
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também deve ser zero:
Portanto, o único zero da função é .

Passo 5

Agora, vamos identificar os intervalos de positividade e negatividade da função. Mas, como vimos no passo 3, sempre é maior ou igual a zero no domínio . Ou seja:
  • Positivo: Para todo
  • Negativo: Não existe, já que a função nunca é negativa

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Sabendo que:
  • O domínio é
  • A imagem é
  • A função tem um único zero em
  • A função é sempre crescente para
O gráfico será uma curva que começa na origem (0,0) e sobe suavemente para a direita, sem nunca descer ou ficar abaixo do eixo .

Resposta

O domínio da função é ; a imagem é ; o único zero é ; a função é positiva para todos os e nunca é negativa. O gráfico começa na origem e sobe para a direita, representando uma curva crescente.

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