Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. Para isso, vamos descobrir algumas coisas importantes: o domínio (os valores de
que a função pode assumir), a imagem (os valores que
pode resultar), onde a função é zero, os intervalos onde ela é positiva ou negativa, e por último, vamos esboçar o gráfico dela. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de funções radicais e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela,
, precisa ser maior ou igual a zero. Então, resolvemos a inequação:
Dividindo ambos os lados por 5, que é positivo, não muda o sentido da desigualdade:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são os possíveis valores de
. Sabemos que a raiz quadrada sempre resulta em números não negativos. Então,
também será maior ou igual a zero. Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos achar os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Assim, temos:
Para que a raiz quadrada seja zero, o que está dentro dela também deve ser zero:
Portanto, o único zero da função é
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os intervalos de positividade e negatividade da função. Mas, como vimos no passo 3,
sempre é maior ou igual a zero no domínio
. Ou seja:
- Positivo: Para todo
- Negativo: Não existe, já que a função nunca é negativa
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabendo que:
- O domínio é
- A imagem é
- A função tem um único zero em
- A função é sempre crescente para
O gráfico será uma curva que começa na origem (0,0) e sobe suavemente para a direita, sem nunca descer ou ficar abaixo do eixo
.
Resposta
O domínio da função é
; a imagem é
; o único zero é
; a função é positiva para todos os
e nunca é negativa. O gráfico começa na origem e sobe para a direita, representando uma curva crescente.