Calcule.
integral0^1 x^21+x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como identificar uma boa substituição e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Note que a derivada de é , que está presente no numerador . Isso é um sinal de que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx . Agora, calculamos a derivada de x^2 dx = du3 em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos integral x^21 + x^3 dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u du e 13 ln|u| + C na integral original:
A integral de em relação a é , então temos:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo 13 ln|1 + x^3| + C :
13 ln(1 + x^3) + C
Como estamos lidando com no intervalo de a , podemos ignorar o valor absoluto:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 13 ln(1 + x^3) |0^1 = 13 ln(1 + 1^3) - 13 ln(1 + 0^3) a 13 ln(2) - 13 ln(1) = 13 ln(2) - 0 = 13 ln(2) :
Calculando cada termo:

Resposta

O valor da integral é .

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