Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender como derivar integrais que têm os limites dependendo das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos uma função
que depende de duas variáveis,
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Como os limites da integral são
e
, que são as variáveis em relação às quais vamos derivar, precisamos usar o Teorema de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 4
O Teorema de Leibniz nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites que dependem das variáveis de diferenciação, então a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis é dada pela função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada desse limite.
Passo 5
Vamos aplicar isso para encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
:
Mas atenção! Como
é o limite inferior da integral, a derivada parcial em relação a
terá um sinal negativo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: