Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
F(x, y)=integraly^x cos (e^t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender como derivar integrais que têm os limites dependendo das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos uma função que depende de duas variáveis, e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Como os limites da integral são e , que são as variáveis em relação às quais vamos derivar, precisamos usar o Teorema de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 4

O Teorema de Leibniz nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites que dependem das variáveis de diferenciação, então a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis é dada pela função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 5

Vamos aplicar isso para encontrar partial Fpartial x = cos(e^x) cdot ddx(x) = cos(e^x) cdot 1 = cos(e^x) :

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial Fpartial y = cos(e^y) cdot ddy(y) = cos(e^y) cdot 1 = cos(e^y) :
partial Fpartial y = -cos(e^y)
Mas atenção! Como é o limite inferior da integral, a derivada parcial em relação a terá um sinal negativo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial Fpartial x = cos(e^x)
partial Fpartial y = -cos(e^y)

Exercícios relacionados