Calcule.
integral0^1 x(x^2+3)^5 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções polinomiais e potenciação. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que simplifica a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples. Observando a integral u = x^2 + 3 , percebemos que está sendo elevado à quinta potência. Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir x , dx = du2 . Calculando:
Então,
Para isolar , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Substituímos integral x(x^2+3)^5 dx = integral (u)^5 cdot du2 = 12 integral u^5 du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^5 du = 12 cdot u^66 + C = u^612 + C em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos (x^2 + 3)^612 + C de volta para termos de :

Resposta

A integral (x^2 + 3)^612 |0^1 = (1^2 + 3)^612 - (0^2 + 3)^612 = 4^6 - 3^612 é igual a 4^6 = 4096 avaliada de 0 a 1. Calculando:
3^6 = 729
Calculando os valores:
4096 - 72912 = 336712 = 280,5833
Então:
Portanto, a integral vale aproximadamente 280,58.

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