(!!) Considere a função:
b) Calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
(se existir).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente no ponto
e nos outros pontos. A parte (b) do exercício nos pede para calcular o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
, caso ele exista.
Para resolver isso, precisamos saber como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto de interesse e usar essas derivadas para construir a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Como
, usamos a definição da função para esses valores:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
no ponto
. Vamos começar calculando
, a derivada de
em relação a
:
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a diferenciaç��o:
A derivada parcial
é dada por:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Agora, substituímos
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial
:
Usando novamente a regra do quociente:
Substituindo
e
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por: