(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
b) Calcule o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 1, f(1, 1)) (se existir).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente no ponto e nos outros pontos. A parte (b) do exercício nos pede para calcular o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto , caso ele exista.
Para resolver isso, precisamos saber como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto de interesse e usar essas derivadas para construir a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Como , usamos a definição da função para esses valores:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais e no ponto . Vamos começar calculando , a derivada de em relação a :
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a diferenciaç��o:
A derivada parcial é dada por:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Agora, substituímos e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial :
Usando novamente a regra do quociente:
Substituindo e :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , e :
Simplificando:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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