Calcule.
integral0^1 x raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição. Para resolver, vamos precisar de uma mudança de variável que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Essa escolha é legal porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar o integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = -2x , dx em relação a :
Isso significa que . Vamos usar essa relação para substituir no nosso integral original.

Passo 4

Substituindo integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx = -12 integral raizu , du e no integral, temos:
Agora, o integral está em termos de , que é mais fácil de calcular.

Passo 5

Vamos integrar -12 integral u^1/2 , du = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos -13 (1 - x^2)^3/2 + C de volta na expressão:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 7

Avaliação nos limites:
  • Para -13 (1 - 1^2)^3/2 = -13 cdot 0 = 0 :
-13 (1 - 0^2)^3/2 = -13 cdot 1 = -13
  • Para :
Então, a diferença é .

Resposta

O valor da integral é .

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