Calcule.
integral0^1 x e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^1 x e^x^2 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve um polinômio multiplicado por uma função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado substituição (também conhecido como mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Olhando para u = x^2 , percebemos que o expoente du = 2x , dx está relacionado com o termo x , dx = du2 que está multiplicando.
Vamos definir:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que:

Passo 3

Agora, substituímos integral0^1 x e^x^2 , dx = integralu(0)^u(1) e^u cdot du2 e u = 0^2 = 0 na integral original:
u = 1^2 = 1
Precisamos mudar os limites de integração de 12 integral0^1 e^u , du para . Quando :
E quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral e^u , du = e^u + C em relação a 12 [ e^u ]0^1 :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar no caso de integrais definidas.
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração de volta em termos de 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 ( e - 1 ) :

Resposta

A integral vale:
e - 12

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