Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
© z = sen(x) + sen(2y) + sen(3(x + y)),
P = (0, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície dada pela função no ponto .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma de suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e nas derivadas:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, podemos construir o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais em relação a e , e -1 para a coordenada .
Então, o vetor normal é .
Agora, usando a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo e as derivadas:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a equação da reta normal, usamos o vetor normal e o ponto .
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Ou seja,

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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