Calcule integral0^3(x^3-6 x) d x, tomando o limite da soma de Riemann.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral0^3(x^3-6x),dx tomando o limite da soma de Riemann. O conteúdo é integração definida a partir da definição via soma de Riemann, e vamos precisar: particionar o intervalo, calcular De, montar a soma Sn de f(xi),De e então tomar o limite ntoinfty.

Passo 2

Particionamos o intervalo [0,3] em n subintervalos iguais de largura
De

Passo 3

Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
xi=i,De

Passo 4

Então a soma de Riemann é
Sn=sumi=1^nf(xi),De

Passo 5

Precisamos agora dos somatórios padrão:
sumi=1^ni=n(n+1)2, sumi=1^ni^3=l(n(n+1)2r)^2

Passo 6

Vamos reescrever Sn usando esses valores:
Sn=3ngl[sumi=1^nl(3inr)^3 -6sumi=1^n3ingr] = 3ngl[27n^3sumi=1^ni^3 -18nsumi=1^nigr]

Passo 7

Substituindo os somatórios e simplificando:
Sn=3ngl[27n^3cdotn^2(n+1)^24-18ncdotn(n+1)2gr] = 81(n+1)^24n^2-27(n+1)n

Passo 8

Por fim, tomamos o limite quando ntoinfty. Como (n+1)/nto1 e (n+1)^2/n^2to1, temos
limntoinftySn=814-27=81-1084=-274

Resposta

-27/4

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