Calcule:
integral1^3 integral2^4(40-2 x y) d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral dupla
integral1^3!integral2^4(40 - 2xy),dy,dx
Conteúdo: integração iterada em cálculo de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender que, na integral interna em y, x é constante.
  • Aplicar a linearidade da integral: integral (A+B),dy = integral A,dy + integral B,dy.
  • Usar a regra de potência para polinômios: integral y^n,dy = y^n+1n+1.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral2^4(40 - 2xy),dy
Teoria aplicada:
  1. 40 é constante em y, então integral 40,dy = 40y.
  2. 2x é constante em y, e integral y,dy = tfracy^22, logo
    integral 2xy,dy = 2xcdoty^22 = x,y^2.
    Juntando:
integral2^4(40 - 2xy),dy = l[40y - x,y^2r]2^4 = l(40cdot4 - xcdot4^2r) - l(40cdot2 - xcdot2^2r)
Calculando:
(160 - 16x) - (80 - 4x) = 160 - 16x - 80 + 4x = 80 - 12x

Passo 3

Agora integramos em x:
integral1^3(80 - 12x),dx
Teoria aplicada:
  • integral 80,dx = 80x.
  • integral 12x,dx = 12cdotx^22 = 6x^2.
    Então
integral1^3(80 - 12x),dx = l[80x - 6x^2r]1^3 = l(80cdot3 - 6cdot3^2r) - l(80cdot1 - 6cdot1^2r)
Calculando:
(240 - 54) - (80 - 6) = 186 - 74 = 112

Resposta

112

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