Utilize coordenadas esféricas para calcular
, onde
está entre as esferas
e
no primeiro octante .
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral tripla
onde
é a região entre as esferas
e
no primeiro octante.
Conteúdo: integração tripla em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: integração tripla em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
- A mudança de variáveis cartesianas
esféricas:
. - O elemento de volume em esféricas:
. - Determinar limites de
para o primeiro octante entre as esferas.
Passo 2
Primeiro, lembrando as fórmulas de conversão e o Jacobiano:
Como integrando temos
z^2 , substituímos
z = rcosphi , então
e o integrando vira
Passo 3
Agora, os limites para
W :
-
varia de 1 até 2 (entre as esferas).r - No primeiro octante (todas as coordenadas ≥0) temos
de 0 aphi (paratfracpi2 ) ez>=0
de 0 atheta (paratfracpi2 ).x,y>=0
Então a integral fica
Passo 4
A gente separa em três integrais aninhadas:
- Integração em
:r
- Integração em
:phi
Fazendo
u=cosphi
Rightarrow du=-sinphi,dphi ,
- Integração em
:theta
Passo 5
Agora multiplica tudo: