Utilize coordenadas esféricas para calcular integral triplaW z^2 d V, onde W está entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral tripla
integral triplaW z^2,dV
onde W é a região entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante.
Conteúdo: integração tripla em coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
  • A mudança de variáveis cartesianas to esféricas:
    x=rsinphicostheta,;y=rsinphisintheta,;z=rcosphi.
  • O elemento de volume em esféricas: dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.
  • Determinar limites de r,phi,theta para o primeiro octante entre as esferas.

Passo 2

Primeiro, lembrando as fórmulas de conversão e o Jacobiano:
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi, dV = r^2 sinphi,dr,dphi,dtheta
Como integrando temos z^2, substituímos z = rcosphi, então
z^2 = r^2cos^2phi,
e o integrando vira
z^2,dV = (r^2cos^2phi),(r^2sinphi,dr,dphi,dtheta) = r^4cos^2phisinphi;dr,dphi,dtheta

Passo 3

Agora, os limites para W:
  • r varia de 1 até 2 (entre as esferas).
  • No primeiro octante (todas as coordenadas ≥0) temos
    phi de 0 a tfracpi2 (para z>=0) e
    theta de 0 a tfracpi2 (para x,y>=0).
Então a integral fica
integraltheta=0^pi/2 integralphi=0^pi/2 integralr=1^2 r^4cos^2phisinphi ;dr,dphi,dtheta

Passo 4

A gente separa em três integrais aninhadas:
  1. Integração em r:
integral1^2 r^4,dr = l[tfracr^55r]1^2 = 2^5 - 1^55 = 32 - 15 = 315
  1. Integração em phi:
integral0^pi/2 cos^2phi,sinphi,dphi
Fazendo u=cosphi Rightarrow du=-sinphi,dphi,
integral0^pi/2cos^2phi,sinphi,dphi = -integralu(0)=1^u(pi/2)=0 u^2,du = integral0^1 u^2,du = l[tfracu^33r]0^1 = 13
  1. Integração em theta:
integral0^pi/2 dtheta = pi2

Passo 5

Agora multiplica tudo:
315;times;13;times;pi2 = 31pi5cdot3cdot2 = 31pi30

Resposta

boxed31pi30

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