Exercício 13 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+5 y^prime+6 y=x e^-5 x;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 5y' + 6y = x,e^-5x
O conteúdo aqui é solução de EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0
que fatoriza como (r+2)(r+3)=0. Logo, as raízes são r=-2 e r=-3, e a solução geral homogênea é
yh = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para encontrar um particular yp ao termo x,e^-5x, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é P1(x)e^-5x com P1(x)=x de grau 1 e -5 não é raiz da característica, assumimos
yp = (A x + B),e^-5x,
onde A e B são constantes a achar.

Passo 4

Calculamos yp' e yp'':
yp = (A x + B)e^-5x,
yp' = l(-5A x + A - 5Br)e^-5x,
yp'' = l(25A x -10A +25Br)e^-5x
Substituindo em y'' + 5y' + 6y obtemos
yp'' + 5yp' + 6yp = l(6A,x +(-5A +6B)r)e^-5x
Para igualar ao lado direito x,e^-5x precisamos
6A = 1, -5A + 6B = 0
Daí A = tfrac16 e 6B = 5A = tfrac56, logo B = tfrac536.

Passo 5

O particular fica
yp = l(tfrac16x + tfrac536r)e^-5x
Assim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com o particular:

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + l(tfrac16x + tfrac536r)e^-5x

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