Exercício 13 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
O conteúdo aqui é solução de EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
que fatoriza como
. Logo, as raízes são
e
, e a solução geral homogênea é
Passo 3
Para encontrar um particular
ao termo
, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é
com
de grau 1 e
não é raiz da característica, assumimos
onde
e
são constantes a achar.
Passo 4
Calculamos
e
:
Substituindo em
obtemos
Para igualar ao lado direito
precisamos
Daí
e
, logo
.
Passo 5
O particular fica
Assim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com o particular: