Calcule:
integral1^e^pi / 3 d xx cos (ln (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1^e^pi/3dxxcos(ln(x)). O conteúdo envolvido é mudança de variável em integrais e a integral da função secante; vamos usar a substituição t=ln(x) e a fórmula de integralsec t,dt.

Passo 2

Fazendo a substituição t=ln(x), temos dt=dxx. Também mudamos os limites: quando x=1, t=0; quando x=e^pi/3, t=pi3.
Substituindo na integral original, obtemos
integral1^e^pi/3dxxcos(ln(x))=integral0^pi/3dtcos(t)=integral0^pi/3sec(t),dt

Passo 3

Sabemos da teoria que
integralsec(t),dt=lnl|sec(t)+tan(t)r|+C

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso e avaliando de 0 a pi/3, temos
integral0^pi/3sec(t),dt=l[lnl|sec(t)+tan(t)r|r]0^pi/3=lnl(sec(tfracpi3)+tan(tfracpi3)r)-lnl(sec(0)+tan(0)r)

Passo 5

Como sec(pi/3)=2, tan(pi/3)=raiz3, sec(0)=1 e tan(0)=0, isso vira
lnl(2+raiz3r)-ln(1)=lnl(2+raiz3r)

Resposta

ln(2+raiz3)

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