Seja a função
Mostre que as curvas de nível de
são círculos do plano. Represente no plano cartesiano para os valores
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que as curvas de nível da função
definidas por
são círculos no plano e, depois, representá-las para
. Vamos usar conceitos de curvas de nível e completar quadrados para achar centro e raio de cada círculo.
Passo 2
Começamos escrevendo a equação implícita de nível
:
Multiplicando em cruz obtemos:
$$
x+y=c\bigl(x2+y2-1\bigr)
$$que leva à forma quadrática
Passo 3
Como
(os valores pedidos são
), dividimos por
e agrupamos termos em
e
:
Passo 4
Agora completamos quadrados em
e
. Note que
Passo 5
Isso prova que cada curva de nível
é um círculo de centro
e raio
.
Passo 6
Para cada valor especificado de
temos:
- Para
: centro , raio . - Para
: centro , raio . - Para
: centro , raio . - Para
: centro , raio .
Resposta
As curvas de nível são círculos
de centro e raio
.
de centro
Para os valores pedidos:
c = 1: centro (1/2,1/2), raio
.
c = 2: centro (1/4,1/4), raio .
c = -1: centro (-1/2,-1/2), raio .
c = -2: centro (-1/4,-1/4), raio .
c = 2: centro (1/4,1/4), raio
c = -1: centro (-1/2,-1/2), raio
c = -2: centro (-1/4,-1/4), raio