Seja a função
z=f(x, y)=x+yx^2+y^2-1
Mostre que as curvas de nível de f são círculos do plano. Represente no plano cartesiano para os valores c=-2,-1,1,2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as curvas de nível da função f(x,y)=x+yx^2+y^2-1 definidas por f(x,y)=c são círculos no plano e, depois, representá-las para c=-2,-1,1,2. Vamos usar conceitos de curvas de nível e completar quadrados para achar centro e raio de cada círculo.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação implícita de nível c:
x+yx^2+y^2-1=c
Multiplicando em cruz obtemos:
$$
x+y=c\bigl(x2+y2-1\bigr)
$$que leva à forma quadrática
x+y=cl(x^2+y^2-1r)

Passo 3

Como cneq0 (os valores pedidos são pm1,pm2), dividimos por c e agrupamos termos em x e y:
x^2+y^2 -1c(x+y) -1=0

Passo 4

Agora completamos quadrados em x e y. Note que
x^2 -1cx = l(x-12cr)^2 - 14c^2, e o mesmo vale para y. Somando essas expressões e ajustando, obtemos:
l(x-12cr)^2 + l(y-12cr)^2 = 1 + 12c^2

Passo 5

Isso prova que cada curva de nível f(x,y)=c é um círculo de centro l(tfrac12c,tfrac12cr) e raio raiz1+tfrac12c^2.

Passo 6

Para cada valor especificado de c temos:
  • Para c=1: centro (tfrac12,tfrac12), raio raiz1+tfrac12=raiztfrac32.
  • Para c=2: centro (tfrac14,tfrac14), raio raiz1+tfrac18=raiztfrac98.
  • Para c=-1: centro ( -tfrac12,-tfrac12), raio raiztfrac32.
  • Para c=-2: centro ( -tfrac14,-tfrac14), raio raiztfrac98.

Resposta

As curvas de nível são círculos
de centro l(tfrac12c,tfrac12cr) e raio r=raiz1+tfrac12c^2.
Para os valores pedidos:
c = 1: centro (1/2,1/2), raio raiz3/2.
c = 2: centro (1/4,1/4), raio raiz9/8.
c = -1: centro (-1/2,-1/2), raio raiz3/2.
c = -2: centro (-1/4,-1/4), raio raiz9/8.

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