Calcule integral1^3 x raiz1-(x-2)^2 d x
(dica: faça x-2=sin (theta), ou seja, x=2+sin (theta) e use os dois itens anteriores).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com substituição trigonométrica. Para isso, vamos usar a dica fornecida: fazer a substituição , ou seja, . Vamos seguir esse caminho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos realizar a substituição sugerida. Se dx = cos(theta) , dtheta , então a derivada de em relação a é:
Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 3

Agora, substituímos raiz1 - (x - 2)^2 = raiz1 - sin^2(theta) = cos(theta) na expressão original:
Aqui usamos a identidade trigonométrica , que nos permite simplificar a raiz quadrada.

Passo 4

Vamos substituir todas as partes na integral original:
integral1^3 x raiz1-(x-2)^2 , dx = integraltheta1^theta2 (2 + sin(theta)) cdot cos(theta) cdot cos(theta) , dtheta
Simplificando, temos:
integraltheta1^theta2 (2 + sin(theta)) cos^2(theta) , dtheta

Passo 5

Precisamos determinar os novos limites de integração. Quando 1 = 2 + sin(theta) Rightarrow sin(theta) = -1 Rightarrow theta = -pi2 :
3 = 2 + sin(theta) Rightarrow sin(theta) = 1 Rightarrow theta = pi2
E quando :
Então, nossos novos limites são de a .

Passo 6

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral-pi2^pi2 2 cos^2(theta) , dtheta + integral-pi2^pi2 sin(theta) cos^2(theta) , dtheta
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
2 integral cos^2(theta) , dtheta
Usamos a identidade 2 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = theta + sin(2theta)2 :

Passo 8

Segunda integral:
integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta
Fazemos uma substituição simples:
Deixe integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3(theta)3 + C , então , ou seja, .
Substituindo:

Passo 9

Agora, combinamos os resultados das duas integrais:
theta + sin(2theta)2 - cos^3(theta)3
Avaliaremos essa expressão nos limites de a .

Passo 10

Vamos calcular nos limites superiores e inferiores:
Para pi2 + sin(pi)2 - cos^3(pi2)3 = pi2 + 0 - 0 = pi2 :
-pi2 + sin(-pi)2 - cos^3(-pi2)3 = -pi2 + 0 - 0 = -pi2
Para :

Resposta

Subtraindo os valores:
pi2 - (-pi2) = pi
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados