Calcule
(dica: faça
, ou seja,
e use os dois itens anteriores).
(dica: faça
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com substituição trigonométrica. Para isso, vamos usar a dica fornecida: fazer a substituição
, ou seja,
. Vamos seguir esse caminho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos realizar a substituição sugerida. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso nos ajudará a substituir
na integral original.
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão original:
Aqui usamos a identidade trigonométrica
, que nos permite simplificar a raiz quadrada.
Passo 4
Vamos substituir todas as partes na integral original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Precisamos determinar os novos limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, nossos novos limites são de
a
.
Passo 6
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Usamos a identidade
:
Passo 8
Segunda integral:
Fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Passo 9
Agora, combinamos os resultados das duas integrais:
Avaliaremos essa expressão nos limites de
a
.
Passo 10
Vamos calcular nos limites superiores e inferiores:
Para
:
Para
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Portanto, o valor da integral é
.