Mostre que integral-pi2^pi2 sin theta cos ^2 theta d theta=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de de até é igual a zero. Isso tá ligado ao cálculo integral, especificamente à avaliação de integrais definidas. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções ímpares e simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Sabemos que é uma função ímpar, ou seja, . Já é uma função par, porque . Quando a gente multiplica uma função ímpar por uma par, o resultado é uma função ímpar. Então, é ímpar.

Passo 3

Agora, lembrando que se a gente tem uma função ímpar e integra ela sobre um intervalo simétrico em relação a zero, o resultado da integral sempre será zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Nosso intervalo de integração é de até , que é simétrico em torno de zero. Então, sem precisar calcular de fato a integral, já sabemos que o resultado vai ser zero.

Resposta

integral-pi2^pi2 sin theta cos ^2 theta d theta = 0

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