Determine a derivada. f(x) = e^(-x) arctg(e^x) / tg(x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Para isso, precisamos usar conhecimentos de derivação de funções compostas e regra do quociente. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, arctangente e tangente.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função para aplicar a regra do quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
A regra do quociente nos diz que a derivada de é . Vamos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar o numerador . Isso envolve a regra do produto, já que temos duas funções multiplicando:
  • e
A derivada do produto é .

Passo 4

Calculando as derivadas das partes:
  • Para , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, substituímos e na derivada do numerador:

Passo 6

Agora, vamos derivar o denominador :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de é:

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