Calcule as seguintes integrais:
pt)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
. Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que a gente usa quando queremos simplificar integrais racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a fração
como uma soma de duas frações menores. A gente vai assumir que:
Aqui, A e B são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo os termos:
Vamos agrupar os termos com x e os constantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
-
Para x:
-
Para as constantes:
Resolvendo esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 4
Agora que temos A = 2 e B = 1, podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então aplicando isso:
Resposta
A integral de
é igual a: