Calcule as seguintes integrais: (1,5 pt) integral 3 x+3(x-1)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de 3x + 3(x - 1)(x + 2) , dx. Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que a gente usa quando queremos simplificar integrais racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a fração 3x + 3(x - 1)(x + 2) como uma soma de duas frações menores. A gente vai assumir que:
3x + 3(x - 1)(x + 2) = Ax - 1 + Bx + 2
Aqui, A e B são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x + 2):
3x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
Expandindo os termos:
3x + 3 = A x + 2A + B x - B
Vamos agrupar os termos com x e os constantes:
3x + 3 = (A + B)x + (2A - B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para x:
    A + B = 3
  2. Para as constantes:
    2A - B = 3
Resolvendo esse sistema de equações:
  • Da primeira equação: B = 3 - A
  • Substituindo na segunda equação: 2A - (3 - A) = 3 2A - 3 + A = 3 3A - 3 = 3 3A = 6 A = 2
Então, B = 3 - A = 3 - 2 = 1.

Passo 4

Agora que temos A = 2 e B = 1, podemos escrever a fração original como:
3x + 3(x - 1)(x + 2) = 2x - 1 + 1x + 2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x - 1 , dx + integral 1x + 2 , dx
Sabemos que integral 1x , dx = ln|x| + C, então aplicando isso:
2 ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

Resposta

A integral de 3x + 3(x - 1)(x + 2) , dx é igual a:
2 ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

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