Seja a lei de Ampere na forma pontual ou diferencial,
, em que
é a densidade de corrente de condução
. a) Qual o significado físico do rotacional de um campo vetorial? b) Obtenha a forma pontual da lei de Ampere a partir de sua forma integral e aplicação do teorema de Stokes. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando os contornos e as superfícies envolvidas. c) Qual a informação física é obtida a partir do cálculo do rotacional do campo intensidade de campo magnético? d) Supondo a existência de uma fonte do campo
(ou seja, corrente de condução), o rotacional de
é necessariamente diferente de zero em todo o espaço? Caso não, o que significa fisicamente a situação em que
0 ?
Passo 1
O enunciado apresenta a lei de Ampère na forma pontual
e pede:
a) significado físico do rotacional de um campo vetorial;
b) derivação da forma pontual a partir da forma integral via Teorema de Stokes;
c) interpretação física do rotacional de ;
d) se em todo o espaço e o significado de
.
e pede:
a) significado físico do rotacional de um campo vetorial;
b) derivação da forma pontual a partir da forma integral via Teorema de Stokes;
c) interpretação física do rotacional de
d) se
Passo 2
a) O rotacional de um campo vetorial
em um ponto mede a tendência local que
tem de “girar” em torno desse ponto. Geometricamente, se você traçar um contorno infinitesimal
ao redor do ponto e calcular a circulação
,
então o rotacional dá essa circulação por unidade de área quando :
então o rotacional dá essa circulação por unidade de área quando
com
normal à superfície
.
Passo 3
b) A forma integral da lei de Ampère é
onde
é a corrente atravessando a superfície
limitada por
.
Pelo Teorema de Stokes,
Pelo Teorema de Stokes,
Igualando as duas expressões de circulação,
Como vale para qualquer superfície
, os integrandos coincidem ponto a ponto, dando
Passo 4
c) Calcular
nos dá a densidade de circulação do campo magnético por unidade de área, que fisicamente equivale à densidade de corrente de condução
. Ou seja, localmente o campo “gira” exatamente onde existe corrente, e a intensidade desse giro por área é a corrente que passa.
Passo 5
d) Não é necessário que
em todo lugar, apenas onde há corrente de condução. Em regiões sem corrente,
e portanto
Fisicamente, isso indica que nessas regiões não há circulação local de
(nenhuma “rotação”) e o campo pode ser descrito por um potencial escalar magnético.
Resposta
(a) O rotacional mede a circulação local de um campo por unidade de área, indicando sua tendência a girar.
(b) Partindo de e usando o Teorema de Stokes, igualamos
,
resultando em .
(c) Informa que a circulação do campo magnético por área é igual à densidade de corrente de condução local.
(d) Não: em regiões sem corrente , temos
, indicando ausência de circulação local e permitindo definição de potencial escalar magnético.
(b) Partindo de
resultando em
(c) Informa que a circulação do campo magnético por área é igual à densidade de corrente de condução local.
(d) Não: em regiões sem corrente