Seja a lei de Ampere na forma pontual ou diferencial, nabla times H=Jc, em que Jc é a densidade de corrente de condução [Am^2]. a) Qual o significado físico do rotacional de um campo vetorial? b) Obtenha a forma pontual da lei de Ampere a partir de sua forma integral e aplicação do teorema de Stokes. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando os contornos e as superfícies envolvidas. c) Qual a informação física é obtida a partir do cálculo do rotacional do campo intensidade de campo magnético? d) Supondo a existência de uma fonte do campo H (ou seja, corrente de condução), o rotacional de H é necessariamente diferente de zero em todo o espaço? Caso não, o que significa fisicamente a situação em que nabla times H= 0 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de Ampère na forma pontual
nablatimesvec H=vec Jc
e pede:
a) significado físico do rotacional de um campo vetorial;
b) derivação da forma pontual a partir da forma integral via Teorema de Stokes;
c) interpretação física do rotacional de vec H;
d) se nablatimesvec Hneq0 em todo o espaço e o significado de nablatimesvec H=0.

Passo 2

a) O rotacional de um campo vetorial vec F em um ponto mede a tendência local que vec F tem de “girar” em torno desse ponto. Geometricamente, se você traçar um contorno infinitesimal partial S ao redor do ponto e calcular a circulação
ointpartial Svec Fcdot dvecell,
então o rotacional dá essa circulação por unidade de área quando Sto0:
(nablatimesvec F)cdothat n = limSto01Sointpartial Svec Fcdot dvecell,
com hat n normal à superfície S.

Passo 3

b) A forma integral da lei de Ampère é
ointpartial Svec Hcdot dvecell = Irm enc,
onde Irm enc=integral duplaSvec Jccdothat n,dS é a corrente atravessando a superfície S limitada por partial S.
Pelo Teorema de Stokes,
ointpartial Svec Hcdot dvecell = integral duplaS(nablatimesvec H)cdothat n,dS
Igualando as duas expressões de circulação,
integral duplaS(nablatimesvec H)cdothat n,dS = integral duplaSvec Jccdothat n,dS
Como vale para qualquer superfície S, os integrandos coincidem ponto a ponto, dando
nablatimesvec H=vec Jc

Passo 4

c) Calcular nablatimesvec H nos dá a densidade de circulação do campo magnético por unidade de área, que fisicamente equivale à densidade de corrente de condução vec Jc. Ou seja, localmente o campo “gira” exatamente onde existe corrente, e a intensidade desse giro por área é a corrente que passa.

Passo 5

d) Não é necessário que nablatimesvec Hneq0 em todo lugar, apenas onde há corrente de condução. Em regiões sem corrente, vec Jc=0 e portanto
nablatimesvec H=0
Fisicamente, isso indica que nessas regiões não há circulação local de vec H (nenhuma “rotação”) e o campo pode ser descrito por um potencial escalar magnético.

Resposta

(a) O rotacional mede a circulação local de um campo por unidade de área, indicando sua tendência a girar.
(b) Partindo de ointpartial Svec Hcdot dvecell=Irm enc e usando o Teorema de Stokes, igualamos
integral duplaS(nablatimesvec H)cdothat n,dS=integral duplaSvec Jccdothat n,dS,
resultando em nablatimesvec H=vec Jc.
(c) Informa que a circulação do campo magnético por área é igual à densidade de corrente de condução local.
(d) Não: em regiões sem corrente vec Jc=0, temos nablatimesvec H=0, indicando ausência de circulação local e permitindo definição de potencial escalar magnético.

Exercícios relacionados