4.3 Calcule:
integral3^10 xx^2-4 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função racional do tipo x/(x^2-4) de 3 até 10. O conteúdo é integração por substituição, pois temos no numerador a derivada (até constante) do denominador.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^2 - 4. Assim, du = 2x,dxLongrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral3^10xx^2-4,dx = integralx=3^x=101ucdot12,du = 12integralu(3)^u(10)1u,du

Passo 4

Agora, calculamos os novos limites: u(3)=3^2-4=5 e u(10)=10^2-4=96. A antiderivada de 1/u é ln|u|, logo:
12integral5^961u,du = 12l[ln|u|r]5^96 = 12(ln(96) - ln(5))

Passo 5

Por fim, podemos combinar os logaritmos:
12(ln(96) - ln(5)) = 12lnl(965r)

Resposta

12lnl(965r)

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