5.5 Uma mancha de óleo em um lago está cercada por uma barreira de contenção circular flutuante. À medida que a barreira é encolhida, a área circular da mancha diminui por bombeamento. Se o raio da barreira está sendo encolhido a uma taxa de 8 metros por minuto, a que taxa estará diminuindo a área da mancha quando essa área tiver um diâmetro de 200 m ?

Passo 1

A questão fala de uma mancha de óleo cercada por uma barreira circular que está encolhendo, e pede a taxa de variação da área da mancha quando o diâmetro vale 200 m. Aqui o conteúdo é derivação implícita em problemas de taxas relacionadas e vamos usar a fórmula da área de um círculo.

Passo 2

A área de um círculo de raio r é dada por
A = pi r^2
Como o raio está diminuindo a uma taxa de 8 m/min, temos
drdt = -8 m/min

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação da área, diferenciamos A = pi r^2 em relação ao tempo:
dAdt = 2pi r cdot drdt

Passo 4

Na situação em que o diâmetro é 200 m, o raio é r = 100 m. Substituindo r = 100 m e drdt = -8 m/min na expressão de dAdt:
dAdt = 2pi times 100 times (-8) = -1600pi \
Isso significa que a área está diminuindo a uma taxa de 1600pi metros quadrados por minuto.

Resposta

-1600pi m^2/min

Exercícios relacionados