5.5 Uma mancha de óleo em um lago está cercada por uma barreira de contenção circular flutuante. À medida que a barreira é encolhida, a área circular da mancha diminui por bombeamento. Se o raio da barreira está sendo encolhido a uma taxa de 8 metros por minuto, a que taxa estará diminuindo a área da mancha quando essa área tiver um diâmetro de 200 m ?
Passo 1
A questão fala de uma mancha de óleo cercada por uma barreira circular que está encolhendo, e pede a taxa de variação da área da mancha quando o diâmetro vale 200 m. Aqui o conteúdo é derivação implícita em problemas de taxas relacionadas e vamos usar a fórmula da área de um círculo.
Passo 2
A área de um círculo de raio
é dada por
Como o raio está diminuindo a uma taxa de 8 m/min, temos
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação da área, diferenciamos
em relação ao tempo:
Passo 4
Na situação em que o diâmetro é 200 m, o raio é
m. Substituindo
m e
m/min na expressão de
:
Isso significa que a área está diminuindo a uma taxa de
metros quadrados por minuto.