Encontre os mínimos e máximos absolutos da função f(x)=raiz4-x^2 no intervalo [-2,1].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função f(x)=√(4−x²) no intervalo fechado [−2,1]. Isso é um problema de máximos e mínimos em intervalos, onde vamos precisar analisar pontos críticos (derivada igual a zero ou indefinida) e também avaliar os extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro observe o domínio de f: como temos a raiz
4 - x^2 >= 0
logo x∈[−2,2]. O nosso intervalo [−2,1] está dentro desse domínio. Vamos depois avaliar f nos extremos x=−2 e x=1.

Passo 3

Calcule a derivada de f para achar pontos críticos internos. Usando regra da cadeia:
f(x)=raiz4-x^2=(4-x^2)^1/2
Logo
f'(x)=12(4-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz4-x^2
Igualando a zero, f’(x)=0 ⇒ −x/√(4−x²)=0 ⇒ x=0, que está dentro de [−2,1].

Passo 4

Avalie f nos pontos x=−2, x=0 e x=1:
– f(−2)=√(4−(−2)²)=√0=0
– f(0)=√(4−0)=2
– f(1)=√(4−1)=√3≈1,732.
Comparando esses valores, o maior é 2 em x=0 e o menor é 0 em x=−2.

Resposta

Máximo absoluto f(0)=2. Mínimo absoluto f(−2)=0.

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