Determine as derivadas parciais:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x,sin^2ycos(x^2+y^2)
Isso envolve o tema de derivadas parciais em funções de duas variáveis e vamos precisar usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, escrevemos f=N/D com
N(x,y)=x,sin^2y,
D(x,y)=cos(u), u=x^2+y^2
Derivamos cada parte mantendo y constante:
Nx=sin^2y,
Dx=-sin(u)cdot ux=-sin(x^2+y^2)cdot 2x
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x =NxD - N DxD^2 =sin^2y,cos(x^2+y^2) - x,sin^2yl(-2x,sin(x^2+y^2)r)cos^2(x^2+y^2)
Simplificando:
partial fpartial x =sin^2y,cos(x^2+y^2) +2x^2,sin^2y,sin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2)

Passo 3

Para calcular partial f/partial y, usamos de novo f=N/D com mesmos N e D. Agora derivamos mantendo x constante:
Ny=xcdot 2sin ycos y = x,sin(2y),
Dy=-sin(u)cdot uy=-sin(x^2+y^2)cdot 2y
Usando a regra do quociente:
partial fpartial y =NyD - N DyD^2 =x,sin(2y),cos(x^2+y^2) - x,sin^2yl(-2y,sin(x^2+y^2)r)cos^2(x^2+y^2)
Simplificando:
partial fpartial y =x,sin(2y),cos(x^2+y^2) +2xy,sin^2y,sin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2)

Resposta

fx(x,y)=sin^2y,cos(x^2+y^2) +2x^2,sin^2y,sin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2), fy(x,y)=x,sin(2y),cos(x^2+y^2) +2xy,sin^2y,sin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2)

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