Calcule
integralB 2 z d V
onde B a região do espaço limitada pelas superfícies x^22+z^2=1 e z=raizx^22+y^2.
( ) pi / 3
( ) pi / 4
( ) 7 pi / 2
( ) pi / 2
( ) 3 pi / 4
( ) 0

Passo 1

O enunciado pede
integralB2z,dV
onde B é a região limitada pelas superfícies
x^22+z^2=1 e z=raizx^22+y^2;
O conteúdo envolve integral tripla e escolha de ordem de integração, além de mudança para coordenadas polares no plano xy.

Passo 2

Vamos descrever B em coordenadas cartesianas como
B=l(x,y,z)mid x^22+z^2<=1,;z>=raizx^22+y^2r
Para um ponto (x,y) fixo, z varia de
zmin=raiztfracx^22+y^2 até zmax=raiz1-tfracx^22 é
Essa variação só faz sentido se
raiztfracx^22+y^2<=raiz1-tfracx^22 ;Long<=ftrightarrow; x^2+y^2<=1
Logo, a projeção no plano xy é o disco x^2+y^2<=1.

Passo 3

Fazendo a integral em z primeiro:
integralzmin^zmax2z,dz =l[z^2r]zmin^zmax =zmax^2-zmin^2 =l(1-tfracx^22r)-l(tfracx^22+y^2r) =1-x^2-y^2
Assim
integralB2z,dV =integral duplax^2+y^2<=1l(1-x^2-y^2r),dA

Passo 4

Passamos a coordenadas polares no plano xy:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi
Então
integral duplax^2+y^2<=1(1-x^2-y^2),dA =integral0^2pi!integral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos
integral0^1(r - r^3),dr =l[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =tfrac12-tfrac14=tfrac14
Logo
integral0^2pi!integral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta =2picdottfrac14 =tfracpi2

Resposta

pi2

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