Calcule
integralD x y d A
onde D é a região do plano limitada pelas retas y-x=1, y-x=-1, x+y=1 e x+y=2.
( ) -1
( ) 0
( ) 2
( ) 1 / 2
( ) -3 / 4
( ) -3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x,y ,dA
onde D é a região limitada pelas retas
y - x = 1, y - x = -1, x + y = 1, x + y = 2
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando transformações lineares para obter um domínio retangular.

Passo 2

Definimos as variáveis
u = y - x, v = x + y
Nesse caso, as curvas que limitam D ficam
u = -1, u = 1, v = 1, v = 2,
isto é, em (u,v) o domínio é o retângulo
-1 <= u <= 1, 1 <= v <= 2

Passo 3

Invertendo a transformação, obtemos
y = u+v2, x = v - u2
O jacobiano é
J = det dfracpartial xpartial u & dfracpartial xpartial v[6pt] dfracpartial ypartial u & dfracpartial ypartial v = det -,tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac12 = -tfrac12,
logo l|Jr| = tfrac12 e dA = tfrac12,du,dv.]

Passo 4

A função integranda em (u,v) é
x,y = v - u2;u+v2 = v^2-u^24
Portanto a integral vira
integral duplaDx,y,dA = integralu=-1^1integralv=1^2 v^2-u^24,12,dv,du = 18 integralu=-1^1integralv=1^2(v^2-u^2),dv,du

Passo 5

Primeiro integramos em v:
integralv=1^2(v^2-u^2),dv = integral1^2v^2,dv ;-; u^2integral1^21,dv = l[tfracv^33r]1^2 - u^2(2-1) = tfrac8-13 - u^2 = tfrac73 - u^2
Agora em u:
integralu=-1^1l(tfrac73-u^2r),du = 73,(2) ;-; integral-1^1u^2,du = 143 - 23 = 4
Multiplicando pelo fator tfrac18
18 times 4 = 12

Resposta

12

Exercícios relacionados