Resolva y^prime prime+y=tan ^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + y = tan^2 x
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo tan^2 x. Para resolver, vamos:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada,
  2. reescrever tan^2 x como sec^2 x - 1,
  3. obter uma solução particular somando soluções particulares para -1 e para sec^2 x,
  4. combinar tudo na solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 cos x + C2 sin x

Passo 3

Usamos a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1,
de modo que a equação fica
y'' + y = sec^2 x - 1
Procuramos uma solução particular yp = yp1 + yp2, onde yp1 resolve y''+y=-1 e yp2 resolve y''+y=sec^2 x.

Passo 4

Para
y'' + y = -1
tentamos uma constante yp1=A. Substituindo, 0 + A = -1, logo
yp1 = -1

Passo 5

Para
y'' + y = sec^2 x
aplicamos variação de parâmetros com y1=cos x, y2=sin x e Wronskiano W=1. A fórmula dá
yp2 = -cos xintegral sin x,sec^2 x,dx ;+;sin xintegral cos x,sec^2 x,dx

Passo 6

Calculamos os dois integrandos:
integral sin x,sec^2 x,dx = integral sin xcos^2 x,dx = integral -u^-2,du = u^-1 = sec x
integral cos x,sec^2 x,dx = integral 1cos x,dx = integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr|
Substituindo em yp2:
yp2 = -cos xl(sec xr) + sin xl(ln|sec x+tan x|r) = -1 + sin xlnl|sec x+tan xr|

Passo 7

Somando as partes particulares:
yp = yp1 + yp2 = -1 + l(-1 + sin xln|sec x+tan x|r) = -2 + sin xlnl|sec x+tan xr|
Portanto a solução geral é

Resposta

boxed y(x) = C1 cos x + C2 sin x + sin x,lnl|sec x + tan xr| - 2

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