Resolva
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
. Para resolver, vamos:
- achar a solução geral da equação homogênea associada,
- reescrever
como , - obter uma solução particular somando soluções particulares para
e para , - combinar tudo na solução geral.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Usamos a identidade
de modo que a equação fica
Procuramos uma solução particular
, onde
resolve
e
resolve
.
Passo 4
Para
tentamos uma constante
. Substituindo,
, logo
Passo 5
Para
aplicamos variação de parâmetros com
,
e Wronskiano
. A fórmula dá
Passo 6
Calculamos os dois integrandos:
Substituindo em
yp2 :
Passo 7
Somando as partes particulares:
Portanto a solução geral é