Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y)=(y^2+x^2 z, x^3+2 x y^2, x y^2) e C: x(t)=(t^2-3 t)4 t-5, y(t)=10^t-1, z(t)=sen(pi t2) com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O problema nos pede para calcular a integral de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, derivar suas componentes e aplicar a fórmula da integral de linha. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parametrização da curva C. Ela está definida por:
x(t) = t^2 - 3t4t - 5, y(t) = 10^t - 1, z(t) = sin(pi t2), para 0 <= t <= 1
Isso significa que para cada valor de t entre 0 e 1, temos um ponto na curva C. Nosso objetivo é expressar F e dr em termos de t para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das componentes da curva em relação a t, ou seja, dx/dt, dy/dt e dz/dt. Isso é importante porque dr é o vetor derivada da posição em relação a t.
Calculando cada derivada:
dxdt = ddt(t^2 - 3t4t - 5)
Para essa derivada, usamos a regra do quociente:
dxdt = (2t - 3)(4t - 5) - (t^2 - 3t)(4)(4t - 5)^2
Simplificando:
dxdt = 8t^2 - 10t - 12t + 15 - 4t^2 + 12t(4t - 5)^2 = 4t^2 - 10t + 15(4t - 5)^2
Agora, para dy/dt:
dydt = ddt(10^t - 1) = 10^t ln(10)
E para dz/dt:
dzdt = ddt(sin(pi t2)) = pi2 cos(pi t2)

Passo 4

Vamos agora avaliar o campo vetorial F na parametrização da curva C(t). O campo é dado por:
F(x, y, z) = (y^2 + x^2 z, , x^3 + 2x y^2, , x y^2)
Substituindo as parametrizações de x(t), y(t) e z(t):
F(t) = ( (10^t - 1)^2 + (t^2 - 3t4t - 5)^2 sin(pi t2), , (t^2 - 3t4t - 5)^3 + 2 cdot t^2 - 3t4t - 5 cdot (10^t - 1)^2, , t^2 - 3t4t - 5 cdot (10^t - 1)^2 )

Passo 5

Agora, queremos calcular o produto escalar F cdot drdt. Já temos F(t) e drdt = (dxdt, dydt, dzdt). Então:
F cdot drdt = ( y^2 + x^2 z ) dxdt + ( x^3 + 2x y^2 ) dydt + ( x y^2 ) dzdt
Substituindo os valores já calculados:
F cdot drdt = ( (10^t - 1)^2 + (t^2 - 3t4t - 5)^2 sin(pi t2) ) cdot 4t^2 - 10t + 15(4t - 5)^2 + ( (t^2 - 3t4t - 5)^3 + 2 cdot t^2 - 3t4t - 5 cdot (10^t - 1)^2 ) cdot 10^t ln(10) + ( t^2 - 3t4t - 5 cdot (10^t - 1)^2 ) cdot pi2 cos(pi t2)

Passo 6

Finalmente, vamos integrar esse produto escalar de t = 0 a t = 1:
integral0^1 F cdot drdt , dt
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de integração apropriados, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson, dependendo do nível de precisão desejado.

Resposta

A integral integralC F cdot d r resulta em um valor numérico que pode ser obtido avaliando a integral definida de t = 0 a t = 1 conforme os cálculos acima.

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