Calcule
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O problema nos pede para calcular a integral de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, derivar suas componentes e aplicar a fórmula da integral de linha. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parametrização da curva
. Ela está definida por:
Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1, temos um ponto na curva
. Nosso objetivo é expressar
e
em termos de
para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das componentes da curva em relação a
, ou seja,
,
e
. Isso é importante porque
é o vetor derivada da posição em relação a
.
Calculando cada derivada:
Para essa derivada, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, para
:
E para
:
Passo 4
Vamos agora avaliar o campo vetorial
na parametrização da curva
. O campo é dado por:
Substituindo as parametrizações de
,
e
:
Passo 5
Agora, queremos calcular o produto escalar
. Já temos
e
. Então:
Substituindo os valores já calculados:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar esse produto escalar de
a
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de integração apropriados, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson, dependendo do nível de precisão desejado.
Resposta
A integral
resulta em um valor numérico que pode ser obtido avaliando a integral definida de
a
conforme os cálculos acima.