Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre momento e centros de massa e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Faça um resumo e uma descrição sobre momento e centros de massa e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Passo 1
O enunciado pede para resumir o conceito de momento e de centro de massa, apresentar os diferentes modelos (discreto e contínuo), resolver um exemplo numérico e indicar referência bibliográfica. Vamos precisar definir teoria de momento estático e primeiro momento de massa, centro de massa em modelos pontual e contínuo, escolher um exemplo simples (duas massas em uma dimensão) e citar uma fonte.
Passo 2
Momento estático e primeiro momento de massa: o momento estático em relação a um eixo é a soma (ou integral) do produto da massa pela distância ao eixo. Em modelo discreto, o primeiro momento é
. Em modelo contínuo, torna-se a integral
.
Passo 3
Centro de massa: é o ponto que representa a distribuição de massa de um corpo. No modelo discreto o centro de massa em uma dimensão é
. No modelo contínuo,
onde
é a massa total.
Passo 4
Modelos para resolver problemas de centro de massa: 1) Massa pontual (conjunto de pontos de massa, soma direta). 2) Distribuição linear ou laminar (fita, chapa), usando densidade linear
ou superficial
. 3) Distribuição volumétrica (sólidos), com densidade volumétrica
. Em cada caso aplica-se a fórmula adaptada (soma ou integral).
Passo 5
Exemplo particular: duas massas colineares em x. Seja
em
e
em
. Aplicando o modelo discreto,
Passo 6
Referência bibliográfica utilizada: Beer, Johnston & Mazurek. “Vector Mechanics for Engineers: Statics”, 11ª edição, McGraw-Hill, 2014.
Resposta
Resumo e descrição:
O momento estático (ou primeiro momento de massa) mede a tendência de uma distribuição de massa em causar rotação ou deslocamento de seu centro de massa em relação a um eixo ou ponto de referência. Em um sistema discreto, o momento é a soma dos produtos das massas pelas posições; em um sistema contínuo, é a integral dessa quantidade.
O centro de massa é o ponto que age como se toda a massa do sistema estivesse concentrada ali para fins de análise de translação e equilíbrio. Matematicamente, em um modelo discreto de partículas em uma dimensão, ele é dado por
Em distribuições contínuas unidimensionais, planas ou volumétricas, substituímos a soma pela integral adequada, usando densidades linear, superficial ou volumétrica.
Modelos para cálculo de centro de massa:
- Discreto (partículas pontuais): soma
. - Linear ou laminar: densidade
ou . - Volumétrico: densidade
.
Exemplo particular (modelo discreto em 1D):
Duas massas em uma barra:
em
e
em
. O centro de massa é
Referência bibliográfica:
Beer, F. P.; Johnston, E. R.; Mazurek, D. F. Vector Mechanics for Engineers: Statics. 11ª ed., McGraw-Hill, 2014.
Beer, F. P.; Johnston, E. R.; Mazurek, D. F. Vector Mechanics for Engineers: Statics. 11ª ed., McGraw-Hill, 2014.