Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre momento e centros de massa e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.

Passo 1

O enunciado pede para resumir o conceito de momento e de centro de massa, apresentar os diferentes modelos (discreto e contínuo), resolver um exemplo numérico e indicar referência bibliográfica. Vamos precisar definir teoria de momento estático e primeiro momento de massa, centro de massa em modelos pontual e contínuo, escolher um exemplo simples (duas massas em uma dimensão) e citar uma fonte.

Passo 2

Momento estático e primeiro momento de massa: o momento estático em relação a um eixo é a soma (ou integral) do produto da massa pela distância ao eixo. Em modelo discreto, o primeiro momento é sumi mi xi. Em modelo contínuo, torna-se a integral integral x,dm.

Passo 3

Centro de massa: é o ponto que representa a distribuição de massa de um corpo. No modelo discreto o centro de massa em uma dimensão é xcm=dfracsumi mi xisumi mi. No modelo contínuo, xcm=1Mintegral x,dm, onde M=integral dm é a massa total.

Passo 4

Modelos para resolver problemas de centro de massa: 1) Massa pontual (conjunto de pontos de massa, soma direta). 2) Distribuição linear ou laminar (fita, chapa), usando densidade linear lambda(x) ou superficial sigma(x,y). 3) Distribuição volumétrica (sólidos), com densidade volumétrica rho(x,y,z). Em cada caso aplica-se a fórmula adaptada (soma ou integral).

Passo 5

Exemplo particular: duas massas colineares em x. Seja m1=2,kg em x1=0 e m2=3,kg em x2=4,m. Aplicando o modelo discreto,
xcm=m1 x1 + m2 x2m1 + m2 = 2cdot0 + 3cdot42+3 = 125 = 2,4,m

Passo 6

Referência bibliográfica utilizada: Beer, Johnston & Mazurek. “Vector Mechanics for Engineers: Statics”, 11ª edição, McGraw-Hill, 2014.

Resposta

Resumo e descrição:
O momento estático (ou primeiro momento de massa) mede a tendência de uma distribuição de massa em causar rotação ou deslocamento de seu centro de massa em relação a um eixo ou ponto de referência. Em um sistema discreto, o momento é a soma dos produtos das massas pelas posições; em um sistema contínuo, é a integral dessa quantidade.
O centro de massa é o ponto que age como se toda a massa do sistema estivesse concentrada ali para fins de análise de translação e equilíbrio. Matematicamente, em um modelo discreto de partículas em uma dimensão, ele é dado por
xcm=sumi mi xisumi mi
Em distribuições contínuas unidimensionais, planas ou volumétricas, substituímos a soma pela integral adequada, usando densidades linear, superficial ou volumétrica.
Modelos para cálculo de centro de massa:
  1. Discreto (partículas pontuais): soma sum mi xi.
  2. Linear ou laminar: densidade lambda(x) ou sigma(x,y).
  3. Volumétrico: densidade rho(x,y,z).
Exemplo particular (modelo discreto em 1D):
Duas massas em uma barra: m1=2,kg em x1=0 e m2=3,kg em x2=4,m. O centro de massa é
xcm=m1 x1 + m2 x2m1 + m2 = 2cdot0 + 3cdot42+3 = 125 = 2,4,m
Referência bibliográfica:
Beer, F. P.; Johnston, E. R.; Mazurek, D. F. Vector Mechanics for Engineers: Statics. 11ª ed., McGraw-Hill, 2014.

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