Determine o trabalho do campo
ao longo da curva ao lado percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado pelo campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y) $ ao longo de uma curva no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado:
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado pelo campo $ \mathbf{F} $ ao longo da curva, usamos a integral de linha:
Aqui, $ C $ é a curva fechada percorrida no sentido anti-horário.
Passo 4
Como a curva é fechada e estamos lidando com um campo vetorial, podemos verificar se o campo é conservativo. Se for, o trabalho realizado em uma curva fechada será zero. Para isso, vamos calcular a rotacional de $ \mathbf{F} $:
Onde $ \mathbf{F} = P \mathbf{\hat{\imath}} + Q \mathbf{\hat{\jmath}} $.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 6
Agora, calculamos a rotacional:
Passo 7
Para um campo conservativo, a rotacional deveria ser zero. Como $ rot , \mathbf{F} \neq 0 $, o campo não é conservativo. Portanto, precisamos usar o Teorema de Green para calcular o trabalho:
Onde $ D $ é a região delimitada pela curva $ C $.
Passo 8
Substituindo a rotacional que calculamos:
Se a região $ D $ e os limites de integração fossem fornecidos, poderíamos calcular a integral dupla. Como a descrição da curva não foi especificada, assumimos que a resposta geral é expressa dessa forma.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo $ \mathbf{F} $ ao longo da curva no sentido anti-horário é dado por