Determine o trabalho do campo P
F(x, y)=(2 x sen(x^2)+y e^x-2 x^3 y) imath+(y+e^x+x^2 y^2) jmath
ao longo da curva ao lado percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado pelo campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y) $ ao longo de uma curva no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado:
F(x, y) = (2x sin(x^2) + y e^x - 2x^3 y) imath + (y + e^x + x^2 y^2) jmath

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado pelo campo $ \mathbf{F} $ ao longo da curva, usamos a integral de linha:
F
Aqui, $ C $ é a curva fechada percorrida no sentido anti-horário.

Passo 4

Como a curva é fechada e estamos lidando com um campo vetorial, podemos verificar se o campo é conservativo. Se for, o trabalho realizado em uma curva fechada será zero. Para isso, vamos calcular a rotacional de $ \mathbf{F} $:
F
Onde $ \mathbf{F} = P \mathbf{\hat{\imath}} + Q \mathbf{\hat{\jmath}} $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
P = 2x sin(x^2) + y e^x - 2x^3 y
Q = y + e^x + x^2 y^2
Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Qpartial x
Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x = e^x + 2x y^2

Passo 6

Agora, calculamos a rotacional:
rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y = (e^x + 2x y^2) - (e^x - 2x^3) = 2x y^2 + 2x^3

Passo 7

Para um campo conservativo, a rotacional deveria ser zero. Como $ rot , \mathbf{F} \neq 0 $, o campo não é conservativo. Portanto, precisamos usar o Teorema de Green para calcular o trabalho:
rot , F neq 0
Onde $ D $ é a região delimitada pela curva $ C $.

Passo 8

Substituindo a rotacional que calculamos:
W = integral duplaD (2x y^2 + 2x^3) , dA
Se a região $ D $ e os limites de integração fossem fornecidos, poderíamos calcular a integral dupla. Como a descrição da curva não foi especificada, assumimos que a resposta geral é expressa dessa forma.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo $ \mathbf{F} $ ao longo da curva no sentido anti-horário é dado por
F

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