Calcule
, onde
e
a parte da circunferência
que está no primeiro quadrante, percorrida de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
. A curva
é a parte da circunferência
que está no primeiro quadrante, ou seja, de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha e parametrizar a curva
adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é parte da circunferência unitária no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir:
Aqui,
varia de
a
para cobrir o primeiro quadrante, pois quando
, temos
, e quando
, temos
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos a parametrização na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de
:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe
, então
. Ajustando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo:
Passo 8
Calculamos a integral:
Resposta
O valor da integral de linha é
.