Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=lang<= x^2,-x yrang<= e C a parte da circunferência x^2+y^2=1 que está no primeiro quadrante, percorrida de (1,0) até (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y) = lang<= x^2, -x y rang<=. A curva C é a parte da circunferência x^2 + y^2 = 1 que está no primeiro quadrante, ou seja, de (1,0) até (0,1). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha e parametrizar a curva C adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é parte da circunferência unitária no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir:
r(t) = lang<= cos t, sin t rang<=
Aqui, t varia de 0 a pi2 para cobrir o primeiro quadrante, pois quando t=0, temos (1,0), e quando t=pi2, temos (0,1).

Passo 3

Agora, precisamos calcular dr, que é a derivada de r(t) em relação a t:
drdt = lang<= -sin t, cos t rang<= Rightarrow dr = lang<= -sin t, cos t rang<= dt

Passo 4

Substituímos a parametrização na função F(x, y):
F(r(t)) = lang<= (cos t)^2, -cos t cdot sin t rang<=

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (cos^2 t)(-sin t) + (-cos t sin t)(cos t) = -cos^2 t sin t - cos^2 t sin t = -2 cos^2 t sin t

Passo 6

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de t:
integralC F cdot dr = integral0^pi2 -2 cos^2 t sin t , dt

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe u = cos t, então du = -sin t , dt. Ajustando os limites de integração:
  • Quando t = 0, u = cos 0 = 1
  • Quando t = pi2, u = cos pi2 = 0
Substituindo:
integral0^pi2 -2 cos^2 t sin t , dt = integral1^0 -2 u^2 (-du) = integral1^0 2 u^2 du = -integral0^1 2 u^2 du

Passo 8

Calculamos a integral:
-integral0^1 2 u^2 du = -2 [ u^33 ]0^1 = -2 ( 13 - 0 ) = -23

Resposta

O valor da integral de linha é -dfrac23.

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