Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo x
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região plana limitada por
.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos/aros (washers), em que precisamos expressar raios externo e interno em função de e integrar.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos/aros (washers), em que precisamos expressar raios externo e interno em função de
Passo 2
Primeiro notamos onde a parábola cruza o eixo
:
No intervalo de interesse
, para
temos
(região abaixo do eixo) e para
temos
(região acima do eixo). Quando giramos em torno de
, a distância ao eixo é
.
Passo 3
No método dos discos/aros, o volume elementar é
onde
é o raio externo e
o interno.
Para : a região vai de
(mais longe do eixo) até
, então
Para
Para
: vai de
até
, logo
Passo 4
Em ambos os casos
, de modo que o volume total é
Passo 5
Calculamos
Portanto