Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^2-1, y=0, x=0, x=2 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região plana limitada por
;y = x^2 - 1,;y = 0,;x = 0,;x = 2.
O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos/aros (washers), em que precisamos expressar raios externo e interno em função de x e integrar.

Passo 2

Primeiro notamos onde a parábola cruza o eixo x:
x^2 - 1 = 0 ;Longrightarrow; x = pm1
No intervalo de interesse 0<= x<=2, para 0<= x<1 temos y=x^2-1<0 (região abaixo do eixo) e para 1<x<=2 temos y=x^2-1>0 (região acima do eixo). Quando giramos em torno de x, a distância ao eixo é lvert yrvert.

Passo 3

No método dos discos/aros, o volume elementar é
dV = pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
onde R(x) é o raio externo e r(x) o interno.
Para 0<= x<=1: a região vai de y=x^2-1 (mais longe do eixo) até y=0, então
R(x)=0, r(x)=x^2-1(note que r<0, mas vamos usar r^2)
Para 1<= x<=2: vai de y=0 até y=x^2-1, logo
R(x)=x^2-1, r(x)=0

Passo 4

Em ambos os casos R(x)^2 - r(x)^2 = (x^2-1)^2, de modo que o volume total é
V = piintegral0^1l[0^2 - (x^2-1)^2r],dx + piintegral1^2l[(x^2-1)^2 - 0^2r],dx = piintegral0^2(x^2-1)^2,dx

Passo 5

Calculamos
integral0^2(x^2-1)^2,dx = integral0^2(x^4 - 2x^2 +1),dx = l[tfracx^55 - tfrac2x^33 + xr]0^2 = 325 - 163 + 2 = 96 - 80 + 3015 = 4615
Portanto
V = pi cdot 4615 = 46pi15

Resposta

V = 46pi15

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