Calcule integralC F cdot d r, sendo F(x, y, z)=(x^2-y^2, z^2-x^2, y^2-z^2) e C é a curva de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1 com sentido de percurso de modo que sua projeção no x z seja percorrida no sentido anti-horário. (Resp.: 0.)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCFcdot dr,
onde
F(x,y,z)=l(x^2-y^2,,z^2-x^2,,y^2-z^2r)
e C é a curva fechada de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1, orientada de modo que sua projeção no plano xz seja percorrida no sentido anti-horário.
Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do seu rotor.

Passo 2

Calculamos o rotor de F:
nabla times F = i&j&k partialx&partialy&partialz x^2-y^2&z^2-x^2&y^2-z^2 =(2y-2z),i+0;j+(2y-2x),k

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco no plano y=1 definido por
x^2+z^2<=3, y=1
A normal unitária positiva ao plano y=1 é
n=(0,1,0),
que corresponde à orientação de C descrita (sentido anti-horário visto de quem olha do lado positivo de y).

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
integralCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS
Como
(nablatimesF)cdotn =(2y-2z,,0,,2y-2x)cdot(0,1,0)=0,
a integral de superfície é zero e, portanto, a integral de linha também é zero.

Resposta

0

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