Calcule , sendo e é a curva de interseção da esfera com o plano com sentido de percurso de modo que sua projeção no seja percorrida no sentido anti-horário. (Resp.: 0.)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha ,
onde
e é a curva fechada de interseção da esfera com o plano , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.
Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do seu rotor.
Passo 2
Calculamos o rotor de :
Passo 3
Escolhemos como superfície S o disco no plano y=1 definido por
x^2+z^2<=3, y=1
A normal unitária positiva ao plano y=1 é n=(0,1,0),
que corresponde à orientação de C descrita (sentido anti-horário visto de quem olha do lado positivo de y).
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
integralCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS